Иррациональные числа

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
03 Иррациональные числа // Университет СИНЕРГИЯ

Иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными, иначе говоря, действительные числа, которые нельзя представить в виде отношения целых чисел m/n.

Содержание

[править] Существование

То, что не все (действительные) числа, являются рациональными, было выяснено математиками Древней Греции, которые доказали, что корень из 2 (длина диагонали квадрата со стороной 1) не является рациональным числом.

Действительно, пусть [math]\sqrt 2 = m/n[/math] с целыми m и n, причем их можно выбрать натуральными и взаимно простыми (если они не взаимно просты, то можно сократить эту дробь на наибольший общий делитель). Следовательно, 2n2 = m2. Отсюда m2 делится на 2, значит m — чётное (делится на 2), m = 2k, где k — целое, и 2n2 = 4k2, n2 = 2k2, то есть n2 тоже делится на 2, значит n — чётное, но это противоречит тому, что m и n — взаимно простые числа.

Полученное противоречие доказывает, что корень из 2 — иррациональное число. Аналогично доказывается иррациональность любого числа вида корень из k, если натуральное число k не является квадратом некоторого натурального числа. Таким образом, иррациональных чисел бесконечно много.

[править] Свойства

Иррациональные числа записываются в виде непериодических бесконечных десятичных дробей (рациональным числам соответствуют периодические десятичные дроби).

Так [math]\sqrt 2[/math] = 1,414…, log23, π = 3,1415…, e = 2,71828…, число 0,1234567891011121314151617…[Прим. 1] — иррациональные числа, представляющие их бесконечные десятичные дроби непериодичны.

Иррациональность чисел π и e была доказана в XVIII веке Ламбертом.

Иррациональные числа представляются в виде бесконечных цепных дробей:
[math]r = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_k + \cfrac{1}{\ddots}}}}}[/math],
где a0 — целое число, ai — натуральные при 1 ≤ i (рациональным числам соответствуют конечные цепные дроби).

В XIX веке Георг Кантор установил, что множество рациональных чисел счетно (рациональные числа можно «перенумеровать», то есть поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел), а множество действительных чисел — несчетно. Отсюда следует, что множество иррациональных чисел несчетно, то есть иррациональных чисел в некотором смысле «больше», чем рациональных.

Иррациональные числа могут быть алгебраическими и трасцендентными. Алгебраические числа — это числа, которые являются корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами (они включают в себя рациональные числа), а трансцендентные — которые не являются корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами, таким образом, все трансцендентные числа иррациональны.

В XIX веке было установлено существование трансцендентных чисел, и доказано, что e и π — трансцендентны. С помощью подхода, развитого Г. Кантором, устанавливается, что множество алгебраических чисел — счетно, а множество трансцендентных чисел несчетно.

[править] Примечания

  1. Для десятичной записи этого числа берется в виде одной последовательности десятичная запись всех натуральных чисел, записанных в порядке возрастания, очевидно что эта последовательность — непериодичная.

[править] Литература

  • Бухштаб А. А. Теория чисел — М.: «Просвещение», 1966.
  • К. Айерленд, М. Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел — М., 1987.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты