Число Эйлера

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Число e - 2,71828... Математический смысл просто и наглядно // science_pub [6:12]
Что такое число е? // ЕГЭ без боли [9:26]
Science show. Выпуск 45. Число е // Макар Светлый [14:09]

Число Эйлера (число e) — это математическая константа (действительное число), основание натурального логарифма. Может быть определено многими способами, один из которых — такое значение константы a, что производная показательной функции с этим основанием равно той же функции: (ax)' = ax. Приблизительно равно 2,718281828…. Это иррациональное и трансцендентное число.

Содержание

[править] Бесконечная дробь

Число Эйлера представимо в виде бесконечной цепной дроби.

[math]e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{1 + \ldots}}}}}}}}}}}}}}} [/math]

Или эквивалентного ему выражения:

[math]e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3 + \cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\ldots}}}}} [/math]

[править] Рекурсия

Число Эйлера представимо в виде рекурсивной функции.

[math]e=2+f(2)[/math], где [math]f(n)=\frac{n}{n+f(n+1)}, n \in \mathbb{N}\cup\{0\}[/math]

[править] Ряд

Число Эйлера представимо в виде ряда:

[math]e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{7!}+\frac{1}{8!}+\frac{1}{9!}+\frac{1}{10!}+\ldots \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow e=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} \Leftrightarrow e=2+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)!}[/math]

[править] Предел

Число Эйлера представимо в виде предела.

[править] Второй замечательный предел

[math]e=\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x[/math]

[править] Формула Стирлинга

[math]e=\lim_{n \to \infty}\left[n \cdot \left(\frac{\sqrt{2\pi n}}{n!}\right)^\frac{1}{n}\right][/math]

[править] См. также

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты