Производная

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Математика - Производная // Skill up

Производная — это математический термин, обозначающий некую функцию, соответствующую скорости изменения функции. Нахождение производной от функции называется дифференцированием.

Содержание

[править] Производная от функции

1. Определение производной через понятие дифференциала.

Производная от функции y = f(x) равна отношению дифференциалов функции и аргумента.

[math]y'(x)=\frac{dy}{dx}[/math]

2. Определение производной от функции через понятие предела.

Производная от функции y = f(x) равна пределу отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда приращение аргумента стремится к нулю Δx → 0.

[math]y'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \Leftrightarrow y'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}[/math]
[math]f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x} \Leftrightarrow f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}[/math]

[править] Свойства производных

Для функций u=f(x) и v=g(x) верны правила:

ПРО021.JPG

При f(x) и g(x)=C получаем:

ПРО023.JPG

При f(x)=C и g(x) получаем:

ПРО022.JPG

[править] Виды производных:

Производные элементарных функций — это производные (табличные) от элементарных функций.

Производные сложных функций — это производные от функций, состоящих из внешней функции и внутренней функции (функция от функции).

Формулы производных сложных функций

[math]\left[f(g(x))\right]'_x = f'_g(g(x)) \cdot g'_x(x) \Leftrightarrow \left[u(v)\right]'_x=u'_v \cdot v'_x[/math]
[math]\left[f(x)^{g(x)})\right]'_x = f(x)^{g(x)} \cdot \left[f'_x(x)\cdot\frac{g(x)}{f(x)}+g'_x(x) \cdot \ln f(x)\right] \Leftrightarrow \left[u^v\right]'_x=u^v\cdot \left(u'_x\frac{v}{u}+v'_x\ln u\right)[/math]

[править] Другие понятия:

[править] Литература

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.

[править] Ссылки

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты