Производная

Математика - Производная // Skill up

Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 25-26. Дифференциал. Фильм 02 (1973) [1:05:18]

Производная — математический термин, обозначающий некую функцию, соответствующую скорости изменения функции.

Нахождение производной от функции называется дифференцированием.

Определения

1. Определение производной через понятие дифференциала.

Производная от функции y = f(x) равна отношению дифференциалов функции и аргумента.

$y'(x)={\frac {dy}{dx}}$

2. Определение производной от функции через понятие предела.

Производная от функции y = f(x) равна пределу отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда приращение аргумента стремится к нулю Δx → 0.

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\Leftrightarrow y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}$

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}\Leftrightarrow f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Производные элементарных функций — это производные (табличные) от элементарных функций.

Производные сложных функций — это производные от функций, состоящих из внешней функции и внутренней функции (функция от функции).

Виды производных:

• производная;
• производные элементарных функций;
• производные тригонометрических функций;
• производные обратных тригонометрических функций;
• производные гиперболических функций;
• производные обратных гиперболических функций;
• производные сложных функций.

Свойства производных

Для функций u=f(x) и v=g(x) верны правила:

При f(x) и g(x)=C получаем:

При f(x)=C и g(x) получаем:

Формулы сложных функций

$\left[f(g(x))\right]'_{x}=f'_{g}(g(x))\cdot g'_{x}(x)\Leftrightarrow \left[u(v)\right]'_{x}=u'_{v}\cdot v'_{x}$

$\left[f(x)^{g(x)})\right]'_{x}=f(x)^{g(x)}\cdot \left[f'_{x}(x)\cdot {\frac {g(x)}{f(x)}}+g'_{x}(x)\cdot \ln f(x)\right]\Leftrightarrow \left[u^{v}\right]'_{x}=u^{v}\cdot \left(u'_{x}{\frac {v}{u}}+v'_{x}\ln u\right)$

Другие понятия

• число;
• формулы;
• неравенства;
• погрешность;
• предел;
• производная;
• дифференциал;
• последовательность;
• ряд;
• признак сходимости;
• интеграл;
• преобразование;
• экстремум;
• вектор;
• матрица;
• функции;
• уравнения;
• дифференциальные уравнения.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.