Предел (математика)

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Пределы. Введение // KhanAcademyRussian [11:45]

Предел — это математический термин, обозначающий некое предельное число, к которому стремится бесконечная последовательность или функция. Соответственно, различают предел последовательности и предел функции (в точке, «на бесконечности»). Считается также, что предел может быть равен «бесконечности».

Интуитивно понятно, что бывает стремление одного предмета к другому, например птица стремится к гнезду. Отсюда проистекает интуитивное понятие стремления последовательности или функции к чему-то, в рамках математического анализа это понятие стремления находит свою формализацию в математических определениях предела функции и предела последовательности.

Содержание

[править] Предел последовательности

Пределом числовой последовательности {xn} называется число A, в ε-окрестность которого попадают все члены последовательности с номером больше номера N(ε).

[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \text{ такое, что } \forall n \gt N(\varepsilon) \Rightarrow \left|x_n-A\right| \lt \varepsilon[/math]

[править] Виды пределов

[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \text{ т.ч. } \forall n \gt N \Rightarrow \left|x_n-A\right| \lt \varepsilon[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n = 0 \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \text{ т.ч. } \forall n \gt N \Rightarrow \left|x_n\right| \lt \varepsilon[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n = \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \text{ т.ч. } \forall n \gt N \Rightarrow x_n \gt \varepsilon[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow -\infty}x_n = \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \text{ т.ч. } \forall n \gt N \Rightarrow -x_n \gt \varepsilon[/math]

[править] Свойства пределов

Для последовательностей {xn} и {yn} верны правила:

[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(x_n+y_n)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n+\lim\limits_{n \rightarrow \infty}y_n[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(x_n-y_n)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n-\lim\limits_{n \rightarrow \infty}y_n[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(x_n\cdot y_n)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n \cdot \lim\limits_{n \rightarrow \infty}y_n[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n}{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}y_n}[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left({x_n}^{y_n}\right)={\left(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n\right)}^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}y_n}[/math]

При xn и yn = C получаем:

[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(x_n+C)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n+C[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(x_n-C)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n-C[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(x_n\cdot C)=C\cdot\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{x_n}{C}=\frac{1}{C}\cdot\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left({x_n}^{C}\right)={\left(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n\right)}^{C}[/math]

При xn = C и yn получаем:

[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(C+y_n)=C+\lim\limits_{n \rightarrow \infty}y_n[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(C-y_n)=C-\lim\limits_{n \rightarrow \infty}y_n[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(C\cdot y_n)=C\cdot\lim\limits_{n \rightarrow \infty}y_n[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{C}{y_n}=\frac{C}{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}y_n}[/math]
[math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(C^{y_n}\right)=C^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}y_n}[/math]

[править] Предел функции

Пределом функции f{x} в точке a называется число A, в ε-окрестность которого попадают все значения функции в точках из δ-окрестности точки a.

ПР11.JPG

[править] Виды пределов

ПР14.JPG

[править] Свойства пределов

Для функций u=f(x) и v=g(x) верны правила:

ПРЕ121.JPG

При f(x) и g(x)=C получаем:

ПРЕ122.JPG

При f(x)=C и g(x) получаем:

ПРЕ123.JPG

[править] Замечательные пределы

[править] Приёмы нахождения пределов

[править] Другие понятия

[править] Литература

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.

[править] Ссылки

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты