Функция (математика)
Полная функция, или просто функция в математике — особый вид отношения, в котором каждый элемент области определения связан с уникальным элементом области значений.
Это одно из фундаментальных понятий в математике, с помощью которого выражается зависимость одних переменных величин от других.[1]
Частичная функция не несёт требования «для каждого».
Общая информация[править]
Готфрид Лейбниц впервые употребил термин в применении к функциям величин. Функциональная зависимость ставит каждому значению независимой величины строго одно значение зависимой величины. Термином «функция» в классической математике преимущественно пользуются в отношении обозначения числовых функций, в остальных случаях — специальными терминами (отображение, преобразование, оператор, функционал, вектор-функция и другие.)
В простейшим случае, если величины — действительные числа, функция определяется как соответствие числа y заданному числу x, что обозначается y=f(x), где x — независимая переменная (аргумент), y — зависимая переменная (функция). Понятия «зависимой» и «независимой» величин являются в значительной степени условными.
Функция может быть определена как бинарное отношение между двумя множествами , в которой каждому элементу x множества X соответствует один элемент y множества Y такой, что y=f(x).
Функция может быть задана аналитически (с помощью одной или более формул), где установлены вычислительные операции над x для получения значения y. Объемом (областью) определения функции считается совокупность значений x, для которых допустимо выполнение операций, приведенных в формулах. Иногда функция задается на словах, например, функция Дирихле равна 1, если x — рациональное число, и равно 0, если x — иррациональное число.
Способы задания функций[править]
Существует 3 основных способа задания функций: аналитический, графический и табличный.
Аналитический способ[править]
Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический, при котором зависимость функции от аргументов записывается с помощью специальных символов неким уравнением. Например:
- , где является аргументом, а — функцией;
- , где , и — аргументы, а — функция.
Выше приведённые примеры являются случаями явного задания функции, когда одна из величин явно зависит от других. Также нередко встречаются случаи её неявного задания, когда искомая функция явно не определена и для её нахождения нужно произвести ряд предварительных преобразований и/или вычислений. Например:
- , где — аргумент, а — искомая функция.
Графический способ[править]
Функция может быть представлена в виде графика или поверхности, на которых можно определить все её значения (либо часть) при конкретных значениях аргументов. При одном аргументе график представляет из себя линию на плоскости, при двух — поверхность в пространстве, при трёх и более аргументах графическое представление невозможно.
Графический способ широко используется на практике, в частности, в инженерном деле для приблизительной оценки, не превышающей погрешности построения самого графика, какой-либо величины. Однако для получения более точного результата эта конструкция неприменима и возвращает к использованию аналитического метода.
Табличный способ[править]
При табличном способе задания функция представлена в виде таблицы, в которой каждому аргументу (или аргументам) соответсвует значение функции. Например:
1,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2,0 | |
---|---|---|---|---|---|---|
2,00 | 2,20 | 2,34 | 2,47 | 2,59 | 2,69 |
Зачастую (особенно в практических целях, когда погрешность вычислений не является критической), в случае, если значения аргумента и функции не являются дискретными числами, для нахождения промежуточных значений функции, заданной таблично, используют приближённые методы интерполяции и экстраполяции. Например, для выше приведённой функции значению аргумента , расположенному между и , будет соответствовать значение функции .
Поведение[править]
Ограниченность[править]
Функция называется ограниченной, если область её значений является ограниченным множеством. Например, функции и ограничены на всей прямой, так как при любом значении аргумента сами функции принимают значения от до .
Возрастание и убывание[править]
Функция называется монотонно возрастающей, если бо́льшему значению аргумента соответствует бо́льшее значение функции: при . Аналогично, если бо́льшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то такая функция называется монотонно убывающей: при .
Чётность и нечётность[править]
Функция называется чётной, если справедливо равенство , и нечётной, если . Графики чётных функций симметричны относительно оси ординат, а нечётных — относительно начала координат. Так, среди прочих, чётными функциями являются функции , где — чётное число, или ; примеры нечётных функций: , где — нечётное число, или .
Периодичность[править]
Функция называется периодической, если справедливо равенство , где — период функции; то есть при изменении аргумента на величину периода соответствующие им значения функции совпадают. Например, для функций и период равен :
, где — целое число;
, где — целое число.
Элементарные функции[править]
Элементарными называются функции, которые могут быть получены из степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических и гиперболических функций, а также из функций, обратных им:
- степенная функция: , где — постоянное действительное число;
- показательная функция: , где — положительное число, не равное 1 (при : );
- логарифмическая функция: , где — положительное число, не равное 1 (при ни одно число, кроме , не имеет логарифма);
- тригонометрические функции: , , , , , ;
- обратные тригонометрические функции: , , , , , ;
- гиперболические функции: , , , .
См. также[править]
- Линейная функция
- Квадратичная функция
- Обратная функция
- Монотонная функция
- Неявная функция
- Периодическая функция
- Разрывные функции
- Специальные функции
- Гиперболические функции
- Тригонометрические функции
- Элементарные функции
- Наибольшее и наименьшее значения функции
Источники[править]
- ↑ Прохоров, 1988, с. 615
Литература[править]
- Л. Д. Кудрявцев ФУНКЦИЯ // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5: Слу — Я. — 1248 стб. : ил. — 150 000 экз.
- ФУНКЦИЯ // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. кол.: С. И. Адаян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М. : Сов. энциклопедия, 1988. — С. 615—617. — 847 с. — 150 000 экз.
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. — М.: АСТ: Астрель, 2006. — 991 p. — ISBN 5-17-012238-1.
Ссылки[править]
- https://www.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions (англ.)
- Функция. Энциклопедия математики. (англ.)
- Функция. MathWorld. (англ.)
- xFunctions. Java-апплет для изучения функции графическим способом.
- Draw Function Graphs. Онлайновая программа построения графиков функций.