Циклопедия скорбит по жертвам террористического акта в Крокус-Сити (Красногорск, МО)

Функция (математика)

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
← другие значения
Что такое функция. Область определения и область значений // Артур Шарифов [10:02]
Функция — Принципы математического мышления // Маткульт-привет! Алексей Савватеев и Ко [23:14]
Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 5-6. Функция (1970) [1:11:55]

Полная функция, или просто функция в математике — особый вид отношения, в котором каждый элемент области определения связан с уникальным элементом области значений.

Это одно из фундаментальных понятий в математике, с помощью которого выражается зависимость одних переменных величин от других.[1]

Частичная функция не несёт требования «для каждого».

Общая информация[править]

Готфрид Лейбниц впервые употребил термин в применении к функциям величин. Функциональная зависимость ставит каждому значению независимой величины строго одно значение зависимой величины. Термином «функция» в классической математике преимущественно пользуются в отношении обозначения числовых функций, в остальных случаях — специальными терминами (отображение, преобразование, оператор, функционал, вектор-функция и другие.)

В простейшим случае, если величины — действительные числа, функция определяется как соответствие числа y заданному числу x, что обозначается y=f(x), где x — независимая переменная (аргумент), y — зависимая переменная (функция). Понятия «зависимой» и «независимой» величин являются в значительной степени условными.

Соответствие каждой из фигур (множество ) её цвету (множество ).

Функция может быть определена как бинарное отношение между двумя множествами , в которой каждому элементу x множества X соответствует один элемент y множества Y такой, что y=f(x).

Функция может быть задана аналитически (с помощью одной или более формул), где установлены вычислительные операции над x для получения значения y. Объемом (областью) определения функции считается совокупность значений x, для которых допустимо выполнение операций, приведенных в формулах. Иногда функция задается на словах, например, функция Дирихле равна 1, если x — рациональное число, и равно 0, если x — иррациональное число.

Способы задания функций[править]

Существует 3 основных способа задания функций: аналитический, графический и табличный.

Аналитический способ[править]

Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический, при котором зависимость функции от аргументов записывается с помощью специальных символов неким уравнением. Например:

  • , где является аргументом, а — функцией;
  • , где , и — аргументы, а — функция.

Выше приведённые примеры являются случаями явного задания функции, когда одна из величин явно зависит от других. Также нередко встречаются случаи её неявного задания, когда искомая функция явно не определена и для её нахождения нужно произвести ряд предварительных преобразований и/или вычислений. Например:

  • , где — аргумент, а — искомая функция.

Графический способ[править]

Графическое задание функции на примере графика функции

Функция может быть представлена в виде графика или поверхности, на которых можно определить все её значения (либо часть) при конкретных значениях аргументов. При одном аргументе график представляет из себя линию на плоскости, при двух — поверхность в пространстве, при трёх и более аргументах графическое представление невозможно.

Графический способ широко используется на практике, в частности, в инженерном деле для приблизительной оценки, не превышающей погрешности построения самого графика, какой-либо величины. Однако для получения более точного результата эта конструкция неприменима и возвращает к использованию аналитического метода.

Табличный способ[править]

При табличном способе задания функция представлена в виде таблицы, в которой каждому аргументу (или аргументам) соответсвует значение функции. Например:

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
2,00 2,20 2,34 2,47 2,59 2,69

Зачастую (особенно в практических целях, когда погрешность вычислений не является критической), в случае, если значения аргумента и функции не являются дискретными числами, для нахождения промежуточных значений функции, заданной таблично, используют приближённые методы интерполяции и экстраполяции. Например, для выше приведённой функции значению аргумента , расположенному между и , будет соответствовать значение функции .

Поведение[править]

Ограниченность[править]

Функция называется ограниченной, если область её значений является ограниченным множеством. Например, функции и ограничены на всей прямой, так как при любом значении аргумента сами функции принимают значения от до .

Возрастание и убывание[править]

Функция называется монотонно возрастающей, если бо́льшему значению аргумента соответствует бо́льшее значение функции: при . Аналогично, если бо́льшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то такая функция называется монотонно убывающей: при .

Чётность и нечётность[править]

График чётной функции симметричен относительно оси ординат; через каждые значения функции совпадают.
График нечётной функции симметричен относительно начала координат; через каждые значения функции совпадают.

Функция называется чётной, если справедливо равенство , и нечётной, если . Графики чётных функций симметричны относительно оси ординат, а нечётных — относительно начала координат. Так, среди прочих, чётными функциями являются функции , где чётное число, или ; примеры нечётных функций: , где нечётное число, или .

Периодичность[править]

Функция называется периодической, если справедливо равенство , где — период функции; то есть при изменении аргумента на величину периода соответствующие им значения функции совпадают. Например, для функций и период равен :
, где целое число;
, где — целое число.

Элементарные функции[править]

Элементарными называются функции, которые могут быть получены из степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических и гиперболических функций, а также из функций, обратных им:

  • степенная функция: , где — постоянное действительное число;
  • показательная функция: , где — положительное число, не равное 1 (при : );
  • логарифмическая функция: , где — положительное число, не равное 1 (при ни одно число, кроме , не имеет логарифма);
  • тригонометрические функции: , , , , , ;
  • обратные тригонометрические функции: , , , , , ;
  • гиперболические функции: , , , .

См. также[править]

Источники[править]

Литература[править]

Ссылки[править]