Математика

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Гордон - Диалоги (№ 18). Математика и структура Вселенной

Математика — это искусство обращения с абстрактными понятиями, целиком и строго построенными по правилам логики. Древняя научная традиция, поныне развивающаяся и по независимым творческим мотивам, и как средство понятийного основоположения естественных наук.

Содержание

[править] Предмет математики

Математика — это научная традиция проведения и изучения вычислений, охватываемых законами логики: аксиомами. Развитие самой математики также идёт путём вычисления: её гипотезы обычно задаются так, чтобы быть опровергнутыми контрпримером, либо быть строго доказанными через непрерывную цепь логического следования от аксиом.

Наиболее универсальным понятием, применяемым в математическом доказательстве, является множество: абстрактный «указатель» на произвольную совокупность предметов.

Наиболее полное описание предмета математики и её смысла является философской проблемой.

[править] Разделы

Классическая математика была построена в контексте заложения основ науки и сводится к изучению отношений величин при помощи чисел: арифметика, теория чисел, алгебра, геометрия, математический анализ, теория вероятностей.

С XVII века логический аппарат начинают применять для изучения самой математики и неколичественных структур, не покрываемых классическими теориями. Такое расширение предметной области повело к основанию исторически новых дисциплин, таких, как комбинаторика, теория графов, теоретическая информатика, теория групп, теория игр и многие иные.

Математическая логика и математическая статистика, являясь, по сути, математическими дисциплинами, имеют отдельные парадигмы. Математическая логика затрагивает вопрос об основаниях математики и, таким образом, отчасти изучает и саму математику со стороны.[1]

Математику также условно делят на чистую и прикладную. Как правило, задачи прикладной математики менее абстрактны, но более сложны в по числу измерений, условий и других всевозможных параметров, требуют математического «зрения».

[править] История математики

Исторически математика основывается на появившихся уже у древних народов арифметике и геометрии.

Цифры майя

Как система аксиом и их следствий, математика начала оформляться в Древней Греции. Математический анализ и математика в современном виде зарождается с XVII века и поныне, в тесной связи с научно-технической революцией. Важнейшая связь математики с физикой, как и некий общий смысл математики, есть предмет философского вопроса.[2]

Появление в XX веке компьютеров придаёт вычислительному процессу новое ускорение: алгоритмическая и экспериментальная составляющая поиска математических решений вдруг стала проводиться многократно быстрее, позволяя строить гораздо более сложные, насыщенные параметрами математические модели. Возможность хранить произвольные массивы дискретных данных и «вглядываться» в них через автоматическую обработку компьютером — позволяет находить глубокие формальные истины в самых разных областях бытия.

[править] Аксиоматизация математики

Гордон - Диалоги (№ 268). Доказательность в математике

Математику можно рассматривать как систему аксиом с правилами вывода: как учение, целиком подчинённое аксиоматическому методу. Раз выбор системы аксиом (и даже правил вывода) произвольный, возможно существование различных вариантов математики. Довольно объемлющей является система аксиом о чистых множествах Цермело-Френкеля.[3]

Теоремы Гёделя, доказанные в XX веке, установили, что если содержательная математика (в которой есть натуральные числа) непротиворечива, то это невозможно доказать её собственными средствами, а также, что если арифметика непротиворечива, то любая система её аксиом будет неполна: найдутся утверждения, про которые нельзя доказать, ложны они или истинны.

Теоретико-множественный взгляд определяет понятия, составляя их из меньших. Более новый подход определяет внешние соотношения и протоколы взаимодействий между «чёрными ящиками»: теория категорий.

[править] Смотрите также

[править] Примечания

  1. К концу XX века созданы математические объекты, охватывающие структуру самих логических законов, — такие, например, как топы в теории категорий.
  2. Поныне без окончательного ответа. Так указывал, например, физик-математик Герман Вейль.
  3. По мнению Юрия Матиясевича, академика РАН, в 1970 году внесшего окончательный вклад в решение 10-ой проблемы Гильберта, из теории множеств выводимы около 99,99 % теорем «всей математики».

[править] Ссылки


Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты