Аксиома

Аксиома (от греческого axíōma (ἀξίωμα) «то, что считается достойным или подходящим» или «то, что кажется очевидным»), постулат — утверждение, которое назначается, как истинное, чтобы служить опорой для дальнейших рассуждений и аргументов в рамках некоторого дискурса, — в особенности, такого, как та или иная аксиоматическая система.

Особенности термина

Термин имеет тонкие различия в определении при использовании в контексте разных областей исследования. Согласно определению классической философии, аксиома — это утверждение, которое настолько очевидно или хорошо установлено, что принимается без споров или вопросов. В современной логике аксиома — это предпосылка или отправная точка для рассуждений.

В математике термин «аксиома» используется в двух связанных, но различных смыслах: «логические аксиомы» и «нелогические аксиомы». Логические аксиомы обычно представляют собой утверждения, которые считаются истинными в рамках системы логики, которую они определяют, и часто отображаются в символической форме (например, (A и B) подразумевают A), в то время как нелогические аксиомы (например, a + b = b + a) фактически являются существенными утверждениями об элементах области конкретной математической теории (например, арифметики).

В последнем смысле слова «аксиома» и «постулат» могут использоваться как синонимы. В большинстве случаев нелогическая аксиома — это просто формальное логическое выражение, используемое в дедукции для построения математической теории, и может быть или не быть самоочевидным по своей природе (например, параллельный постулат в евклидовой геометрии). Аксиоматизировать систему знаний — значит показать, что ее утверждения могут быть выведены из небольшого, хорошо понятного набора предложений (аксиом), и может быть несколько способов аксиоматизировать данную математическую область.

Любая аксиома — это утверждение, которое служит отправной точкой, из которой логически выводятся другие утверждения. Имеет ли смысл (и если да, то что это значит), что аксиома «истинна», является предметом споров в философии математики.

Математическая логика

В области математической логики проводится четкое различие между двумя понятиями аксиом: логическими и нелогическими (что-то вроде древнего различия между «аксиомами» и «постулатами» соответственно).

Логические аксиомы

Это определенные формулы на формальном языке, которые являются универсально действительными, то есть формулы, которым удовлетворяет каждое присвоение значений. Обычно в качестве логических аксиом принимают по крайней мере некоторый минимальный набор тавтологий, достаточный для доказательства всех тавтологий в языке; в случае логики предикатов больше логических аксиом, чем требуется, чтобы доказать логические истины, которые не являются тавтологиями в строгом смысле.

Нелогические аксиомы

Нелогические аксиомы — формулы, которые играют роль допущений теории. Рассуждения о двух разных структурах, например о натуральных числах и целых числах, могут включать одни и те же логические аксиомы; нелогические аксиомы стремятся уловить особенности конкретной структуры (или набора структур, таких как группы). Таким образом, нелогические аксиомы, в отличие от логических, не являются тавтологиями. Другое название нелогической аксиомы — постулат.

Почти каждая современная математическая теория начинается с заданного набора нелогических аксиом, и мысль, что в принципе каждая теория может быть аксиоматизирована таким образом и формализована до простого языка логических формул.

Нелогические аксиомы в математическом дискурсе часто называют просто аксиомами. Это не означает, что утверждается, что они верны в каком-то абсолютном смысле. Например, в некоторых группах групповая операция коммутативна, и это можно утверждать, вводя дополнительную аксиому, но без этой аксиомы мы можем довольно хорошо развить (более общую) теорию групп, и мы даже можем взять его отрицание как аксиома для изучения некоммутативных групп.

Таким образом, аксиома — это элементарная основа для формальной логической системы, которая вместе с правилами вывода определяют дедуктивную систему.

См. также

• Аксиоматический метод
• Догмат
• Здравый смысл
• Концепция
• Логика
• Гипотеза
• Факт
• Теорема
• Теория множеств
• Теория категорий