Теория категорий

Tеория категорий. Лекция 1 (Виталий Брагилевский) [1:41:41]

Синие кружочки обозначают объекты. Двусторонняя стрелка показывает, что в каждую сторону имеется по морфизму.

Теория категорий (категорная теория), в математике и формальной науке — фарватерная дисциплина абстрактной алгебры.

Задействует категории (направленные мультиграфы с небольшой добавочной структурой) для моделирования и изучения всевозможных семейств математических объектов, даже абстрактных наравне с теориями множеств, доказательств и типов.

Определение

Категория — направленный мультиграф (или «псевдограф»), где вершины называют «объектами», а маркированные направленные рёбра — «стрелками» или морфизмами. «Стрелки» теории категории можно понимать, как некое воздействие объекта на другой объект (или себя); иначе — как преобразование из одного в другой объект, сохраняющее структуру. Однако, гораздо более абстрактные концепции могут быть представлены объектами и морфизмами. Наиболее важное свойство стрелок состоит в том, что они могут быть подвергнуты композиции, другими словами, расположены в последовательности для формирования «новой», составной стрелки.

Применение

Используется прежде всего как понятийный аппарат в различных разделах самой математики: в алгебраической геометрии, топологии, гомологической алгебре, теории групп и т. д. Также применима в математизированных науках: логике, теоретической физике, функциональном программировании и междисциплинарной прикладной теории языков программирования.