Теория категорий

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Tеория категорий. Лекция 1 (Виталий Брагилевский) [1:41:41]

Теория категорий — одно из наиболее общеохватных, объединяющих направлений математики, раздел, близкий абстрактной алгебре. Строго изучает внешнюю форму взаимоотношений между типами объектов, применяемых в более узких направлениях математики, выявляя сходство —— или даже взаимное соответствие — структур таких объектов: «классов», «семейств», «пространств», «алгебр» всевозможного рода.

[править] Основные определения

  • Категория это размеченный направленный граф, где есть ассоциативные стрелки идентичности и композиции.
  • Функтор — гомоморфизм графа, сохраняющий композицию и идентичность.
  • Естественное преобразование функторов [math]F, G :C \rightarrow D[/math] — функтор вида [math]\phi :C \times 2 \rightarrow D[/math], где
    • 2 — категория с двумя объектами и одной нетривиальной стрелкой [math]0\rightarrow 1[/math]
    • [math]\phi(−,0)=F[/math] и [math]\phi (−,1)=G[/math]
  • Произведение семейства объектов — «наиобщий» объект, имеющий стрелку в каждый из заданных.
  • Терминальный объект — произведение пустого семейства объектов: сюда есть единственная стрелка из любого другого объекта в категории.
    • Инициальный объект — прямая сумма пустого семейства объектов: отсюда есть единственная стрелка в любой другой.

[править] Применение

Используется прежде всего как аппарат для упорядочения различных разделов самой математики: в алгебраической геометрии, топологии, гомологической алгебре, теории групп и т. д. Также применима в математизированных науках — логике, теоретической физике, функциональном программировании.


Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты