Теория чисел

Теория чисел. Передача «Собеседники». Эфир 29.06.2014. Гость передачи Илья Шкредов, доктор физико-математических наук, математик // Первый образовательный телеканал [24:23]

Основная теорема арифметики, АВС гипотеза и другие гипотезы теории чисел // Scientific club [1:00:21]

Лекция 1. Рассказы о теории чисел / Александр Смирнов / СПбГУ // Лекториум [1:42:54]

Теория чисел, или высшая арифметика — раздел чистой математики, изучающий свойства натуральных и целых чисел.

В первую очередь в теории чисел ставятся и решаются те проблемы, которые важны для математики и вычислительной науки в целом, представлявляются исторически важными, — порой настолько, что за решение сразу выдают премию и награды. Главной из таких проблем, наверное, остаётся проверка гипотезы Римана (1859 год) о распределении простых чисел.

Разделы

Теорию чисел могут условно разбивать на разделы:

• Элементарная теория чисел, изучающая элементарные связи и свойства чисел, сравнения, неопределённые уравнения.
• Алгебраическая теория чисел, изучающая алгебраические числа и их применения к решению задач, связанных с натуральными или целыми числами.
• Аналитическая теория чисел, применяющая методы анализа. Например, с помощью теории комплексного переменного в конце XIX века был доказан асимптотический закон распределения простых чисел.

В отдельный раздел теории чисел могут выделяться задачи, предметом которых являются диофантовы приближения (алгебраических и трансцендентных чисел рациональными числами), теорию трансцендентных чисел, геометрическую теорию чисел.

Решением, доказательством гипотез о числах часто будет произведение идеального искусства, дающего новое освещение также и поля алгебраических чисел, — способных задать густой порядок, а значит, гарантированно быть вычислимыми за полиномиальное время. В полиноме $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}$, если $n=1$, то его корни — целые числа, а если $n\geq 1$, то они будут целыми алгебраическими, рассматриваемыми, как обобщения целых чисел.

История теории чисел

Древняя Греция

Арифметика получает основу с развитием счета, решением конкретных практических задач и появлением понятия натурального числа. В «Началах» Евклида изучается делимость чисел, вводится понимание простых чисел. Древнегреческий процесс получения последовательности простых — решето Эратосфена.

Как математическая дисциплина теория чисел восходит к трудам древнегреческого математика Диофанта Александрийского (предположительно III век до н. э.), в которых изучались задачи решения алгебраических уравнений в целых и рациональных числах.

Средние века

В 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра предложил формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел.

В Европе до XVII века рассматривались отдельные задачи теоретико-числовой направленности. Исследованы числа Фибоначчи (1202 год). Были переведены и прокомментированы работы Диофанта.

XVII—XIX века

Пьер де Ферма

В XVII веке ряд теоретико-числовых проблем был поставлен и решён французским математиком Пьером Ферма, которого можно считать основателем современной теории чисел. Его авторству принадлежит «метод бесконечного спуска» для доказательства свойств натуральных чисел. Малая теорема Ферма: $\forall \!a\in \mathbb {Z} \;a^{p}\equiv \!a\!{\pmod {p}}.$ Теорема Ферма о многоугольных числах: каждое натуральное число можно представить не более чем n n-угольными числами. (Доказана Коши в 1813 году.)

Леонард Эйлер

Многочисленные результаты в теории чисел были получены в работах Леонарда Эйлера (1707—1783), который стал применять для решения теоретико-числовых проблем методы математического анализа. Гипотеза Гольдбаха—Эйлера поныне не доказана: любое чётное число $>2$ представимо в виде суммы двух простых.

После Эйлера работы по теории чисел встречаются у ряда западных математиков XVII—XIX веков, его исследования были продолжены Лагранжем и Лежандром.

Карл Фридрих Гаусс

Карл Фридрих Гаусс в Disquisitiones Arithmeticae излагает теорию сравнений в современной нотации, решает сравнения произвольного порядка, исследует квадратичные формы; комплексные корни из единицы используются для построения правильных n-угольников, излагаются свойства квадратичных вычетов, приведено гауссово доказательство квадратичного закона взаимности. Гаусс поставил проблему нахождения «высших законов взаимности», которая стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX—XX веках.

Разнообразные проблемы теории чисел рассматриваются в работах математиков XIX века: Эйзенштейна, Римана, Дирихле, Куммера, Чебышёва, Лиувилля, Эрмита, Кронекера, Золотарёва. Доказан сформулированный Чебышёвым асимптотический закон распределения простых чисел. Сформулирована не доказанная поныне гипотеза Римана о нулях дзета-функции, утверждающая, что все нетривиальные корни уравнения $\zeta (s)=0$ лежат на так называемой критической прямой $\mathrm {Re} \,s={\frac {1}{2}}$.

Среди российских математиков XIX века выделяют труды Чебышёва, Коркина, Золотарёва, Вороного.

XX век

В XX веке в работах Гильберта, Такаги, Фуртвенглера, Хассе и Артина была построена теория полей классов, находящая применение в алгебраической теории чисел.

В XX веке продолжилось развитие методов комплексного переменного в теории чисел. Математик А. О. Гельфонд в 1934 году решил Седьмую проблему Гильберта о трансцендентности чисел вида $\alpha ^{\beta }$, где $\alpha ,\beta$ — алгебраические числа. Вопросы приближения алгебраических чисел рациональными были развиты в работах А. Туэ, К. Зигеля и Ф. Рота. Это позволило доказать конечность числа представлений натуральных чисел неприводимыми бинарными формами степени выше 2.

Иван Виноградов с помощью развитого им метода тригонометрических сумм доказал одну из двух проблем Гольдбаха, поставленную в XVIII веке: все нечетные числа, начиная с некоторого, могут быть представлены в виде суммы трёх простых чисел.

В 1970 году Юрий Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость проблемы нахождения произвольных алгебраических диофантовых уравнений, решив Десятую проблему Гильберта.

Применение теории чисел в криптографии

Теория чисел вплоть до XX века считалась чистой наукой, не имеющей практического применения. Такой ее называл, в частности, английский математик Харди. Начиная со второй половины XX века появились криптографические протоколы, полагающиеся на вычислительную трудность решения задачи разложения (факторизации) больших чисел на простые, трудность решения задачи дискретного логарифмирования и других теоретико-числовых задач. Причисление таким задачам некоей вычислительной сложности не имеет, само по себе, простого математического рецепта и является скорее предметом веры, что не мешает использовать соответствующие криптографические протоколы, например, в банковской практике.

Литература

• Бухштаб А. А. Теория чисел — М.: «Просвещение», 1966.
• К. Айерленд, М. Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел — М., 1987.
• Боро В., Цагир Д., Рольфс Ю. Живые числа — М., 1985.