Числа Фибоначчи

Золотое сечение и числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи — линейная рекуррентная последовательность натуральных чисел, где первое и второе равно единице, а каждое последующее — сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … ad infinitum.

Цветок пупавка красильная: 13 спиралей изгибаются против часовой, 21 — по часовой.

Числа Фибоначчи проявляются в живых формах: например, числа левозакрученных и правозакрученных спиралей, вдоль которых располагаются семена подсолнуха. Аналогичные закономерности выявляются при изучении шишек и лепестков некоторых цветков.

Были известны в Индии в VIII—XII веках. В Европе введены в 1202 году как математическая модель приплода в животной популяции.

Свойства

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0 = 0,}  Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_1 = 1,}  Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{n+2} = F_{n+1} + F_n}

В замкнутом виде n-ное число Фибоначчи Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_n = \frac{\phi^n - \left(1 - \phi\right)^n}{\sqrt{5}}} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi}  — золотая пропорция. Эта формула Бине найдена де Муавром и может быть получена из общего метода нахождения подобных формул через корни характеристического уравнения, каковое для последовательности {F_n} имеет вид Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2-x-1=0\,\!} , с корнями Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi}  и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1-\phi} .

Из формулы Бине следует, что при увеличении Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} числа Фибоначчи растут со скоростью геометрической прогрессии: справедлива асимптотическая формула при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n\to\infty} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_n\sim \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}}

История

Числа Фибоначчи были известны в Индии в трудах математиков VIII—XII веков и применялись там в стихосложении.

В Западной Европе последовательность введена в 1202 году в «Книге абака» (Liber Abaci), автор Леонард Пизанский, сын Боначчо (filius Bonaccii, Фибоначчи). Там он предлагает модель роста популяции кроликов: имеется одна новорожденная пара кроликов, которая начинает давать приплод в одну пару кроликов в каждый месяц, начиная со второго месяца. Так же размножаются и вновь родившиеся кролики, порождая новую пару кроликов каждый месяц, начиная со второго, с момента своего рождения. Задача: сколько пар кроликов будет к концу года (считается, что кролики не умирают). Оказывается, что в конце Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} -го месяца число пар кроликов задается числом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{n+1}} . В конце года будет Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{13} = 233} пары кроликов.

Кеплер в письме Strena Seu de Nive Sexangula вывел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\phi} .

Название «ряд Фибоначчи» (la série de Fibonacci) введено в работе Эдуарда Люка от 1877 года Recherches sur plusieuers ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d'arithmétique supérieuer.