Числа Фибоначчи

Золотое сечение и числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи — линейная рекуррентная последовательность натуральных чисел, где первое и второе равно единице, а каждое последующее — сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … ad infinitum.

Цветок пупавка красильная: 13 спиралей изгибаются против часовой, 21 — по часовой.

Числа Фибоначчи проявляются в живых формах: например, числа левозакрученных и правозакрученных спиралей, вдоль которых располагаются семена подсолнуха. Аналогичные закономерности выявляются при изучении шишек и лепестков некоторых цветков.

Были известны в Индии в VIII—XII веках. В Европе введены в 1202 году как математическая модель приплода в животной популяции.

Свойства

$F_{0}=0,$ $F_{1}=1,$ $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$

В замкнутом виде n-ное число Фибоначчи $F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\left(1-\phi \right)^{n}}{\sqrt {5}}}$, где $\phi$ — золотая пропорция. Эта формула Бине найдена де Муавром и может быть получена из общего метода нахождения подобных формул через корни характеристического уравнения, каковое для последовательности {F_n} имеет вид $x^{2}-x-1=0\,\!$, с корнями $\phi$ и $1-\phi$.

Из формулы Бине следует, что при увеличении $n$ числа Фибоначчи растут со скоростью геометрической прогрессии: справедлива асимптотическая формула при $n\to \infty$ $F_{n}\sim {\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}$

История

Числа Фибоначчи были известны в Индии в трудах математиков VIII—XII веков и применялись там в стихосложении.

В Западной Европе последовательность введена в 1202 году в «Книге абака» (Liber Abaci), автор Леонард Пизанский, сын Боначчо (filius Bonaccii, Фибоначчи). Там он предлагает модель роста популяции кроликов: имеется одна новорожденная пара кроликов, которая начинает давать приплод в одну пару кроликов в каждый месяц, начиная со второго месяца. Так же размножаются и вновь родившиеся кролики, порождая новую пару кроликов каждый месяц, начиная со второго, с момента своего рождения. Задача: сколько пар кроликов будет к концу года (считается, что кролики не умирают). Оказывается, что в конце $n$-го месяца число пар кроликов задается числом $F_{n+1}$. В конце года будет $F_{13}=233$ пары кроликов.

Кеплер в письме Strena Seu de Nive Sexangula вывел $\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\phi$.

Название «ряд Фибоначчи» (la série de Fibonacci) введено в работе Эдуарда Люка от 1877 года Recherches sur plusieuers ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d'arithmétique supérieuer.