Основная теорема арифметики

Математика. Натуральные числа: Основная теорема арифметики // Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»

2 - Основная теорема арифметики // TheWorldHub

«Основная теорема арифметики» — математическая теорема, согласно которой любое натуральное число, большее единицы, может быть разложено в произведение простых чисел и единственным образом с точностью до порядка сомножителей. Проще говоря, каждое натуральное число есть:

• Единица, либо
• простое число, либо
• произведение нескольких простых чисел, и набор простых сомножителей в разложении определен однозначно.

Пример разложения натурального числа на простые сомножители (одинаковые сомножители сгруппированы в виде степени простого числа):

$360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$

История

В Древней Греции основная теорема арифметики, по-видимому, считалась самоочевидной. Точно сформулирована и доказана в книге Гаусса «Арифметические исследования», опубликованной в 1801 году.

В XIX веке при попытках доказать Последнюю теорему Ферма выяснилось, что в кольцах алгебраических чисел теорема о единственности разложения на простые не выполняется. Вместо нее в таких кольцах выполняется теорема о единственности разложения на простые идеалы.

Идеи, лежащие в основе доказательства

Единственность разложения на простые множители выполняется не для любого кольца. Кольцо целых чисел обладает единственностью разложения на простые, так как в нем есть алгоритм Евклида благодаря возможности деления с остатком. Из алгоритма Евклида следует, что если натуральное $a$ не делится на простое число $p$, то возможно представление $ax+py=1$ с целыми $x$ и $y$. Отсюда если произведение двух целых чисел $ab$ делится на простое число $p$, то $a$ делится на $p$ или $b$ делится на $p$. Из этого вытекает возможность последовательного сокращения на все простые делители и единственность разложения натурального числа, большего 1, на простые с точностью до порядка сомножителей.

Аналогичным образом, благодаря возможности делить с остатком (см. Деление многочленов в столбик), теорема о единственности разложения на простые сомножители выполнена для кольца $K[x]$ многочленов от одной переменной над полем $K$.

См. также

• Разложение на множители

Литература

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.