Циклопедия скорбит по жертвам террористического акта в Крокус-Сити (Красногорск, МО)

Кольцо (алгебра)

Материал из Циклопедии
(перенаправлено с «Кольцо (математика)»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
← другие значения
Кольца и поля. Математические структуры. Урок 82 // MathTutor

Кольцо — это такое непустое множество, в котором обязательно определены 2 операции: сложение — суммой элементов a и b будет элемент a + b, и умножение — произведением этих же элементов будет элемент ab.

Примером кольца является множество целых чисел вместе с обычными сложением и умножением. Это — коммутативное кольцо, то есть произведение любых двух его элементов не зависит от порядка: ab = ba.

Аксиомы кольца[править]

Множество R с операциями сложения («+») и умножения («⋅») является кольцом, если и только если оно вместе с операциями удовлетворяет системе аксиом, которые называются аксиомами кольца:

  1. Свойства сложения:
    1.  (ассоциативная операция)
    2.  (переместительный закон)
    3. Существует элемент такой, что  (нейтральный элемент)
    4. Для каждого существует обратный относительно сложения элемент , такой что  (противоположный элемент)
  2. Согласованность сложения и умножения:
     (левый распределительный закон)
     (правый распределительный закон)

Особые случаи[править]

Кольцо с делением на все ненулевые элементы называется телом. Коммутативное тело называется полем.

Ассоциативная алгебра A над коммутативным кольцом сама является кольцом — аксиомы ассоциативной алгебры, по сути, включают в себя аксиомы кольца.

Также важным случаем кольца является кольцо с единицей — нейтральным элементом 1 по умножению.

Литература[править]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Новое издание, перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 с.