Кольцо (алгебра)
Кольцо — это такое непустое множество, в котором обязательно определены 2 операции: сложение — суммой элементов a и b будет элемент a + b, и умножение — произведением этих же элементов будет элемент ab.
Примером кольца является множество целых чисел вместе с обычными сложением и умножением. Это — коммутативное кольцо, то есть произведение любых двух его элементов не зависит от порядка: ab = ba.
Аксиомы кольца[править]
Множество R с операциями сложения («+») и умножения («⋅») является кольцом, если и только если оно вместе с операциями удовлетворяет системе аксиом, которые называются аксиомами кольца:
- Свойства сложения:
- (ассоциативная операция)
- (переместительный закон)
- Существует элемент такой, что (нейтральный элемент)
- Для каждого существует обратный относительно сложения элемент , такой что (противоположный элемент)
- Согласованность сложения и умножения:
- (левый распределительный закон)
- (правый распределительный закон)
Особые случаи[править]
Кольцо с делением на все ненулевые элементы называется телом. Коммутативное тело называется полем.
Ассоциативная алгебра A над коммутативным кольцом сама является кольцом — аксиомы ассоциативной алгебры, по сути, включают в себя аксиомы кольца.
Также важным случаем кольца является кольцо с единицей — нейтральным элементом 1 по умножению.
Литература[править]
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Новое издание, перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 с.