Множество

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Теория множеств: способы задания множеств, конечные и бесконечные множества // Merera Ru [4:08]

Множество в повседневном смысле — это набор, группа, что угодно, кроме чего-то одного, обычно в существенном (по контексту) числе, то есть не один и не два, а… «много» чего-то.

В логике множество — формальный объект, который в общем соответствует интуициям о множествах реальных предметов, однако, целиком подчинён аксиомам теории множеств. В таком виде множество оказывается естественным средством для задач самой логики, в частности, для обоснования математики: через него строятся доказательства, числа, алгебры, пространства, категории

Содержание

[править] Теория множеств

Повседневному смыслу о «некотором множестве вещей» в теории множеств более-менее соответствуют конечные множества урэлементов, атомов, то есть, элементов, не являющихся множествами.

Притом история теории множеств началась с рассуждений о бесконечных множествах объектов, таких, как все натуральные числа [math]\mathbb{N}[/math] или даже все вещественные числа [math]\mathbb{R}[/math].

Аксиоматика теории множеств в законченном виде сформировалась лишь в первой половине XX века. Как и любая математическая теория, она допускает вариации, однако, образцовой считается система аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

«Множество» — это объект, идентичность которого целиком определена через другие объекты, которые установлены в отношение принадлежности — ∈ — этому множеству. Мы говорим, если [math]x \in A[/math], что икс является элементом A, принадлежит ему, А содержит икс, и в том же роде. Этот объект может, в свою очередь, быть множеством; если нет, то он является атомом, урэлементом.

Принадлежность нетранзитивна: элемент, состоящий в некоем множестве, состоящем в другом множестве, не обязательно является элементом того другого множества.

Множество не просто «постоянно» в отношении содержимых там предметов, оно по определению состоит из них. Не имеет смысла «изменить» множество добавлением или изъятием предметов, так как это будет уже другое множество.

Из этого следует, что каждое множество, будучи строго определено, имеет неизменное количество элементов, «размер». Эта величина называется мощностью, и в случае конечных множеств она выражается одним из натуральных чисел.

Множество, содержащее некоторые из элементов другого множества, и никакие более, является его подмножеством, включено в него. Множество, подмножеством которого является данное, — это его надмножество.

Множество, содержащее лишь некоторые элементы другого множества, и помимо того ещё какие-то, пересекается с ним. Это соответствует логической коньюнкции: пересечение двух множеств это множество с теми элементами, которые находятся в первом и во втором.

Множество, содержащее все элементы одного множество и все элементы другого, называется объединением: оно содержит элементы или одного, или другого. Возможно — обоих: элементы пересечения в объединении считаются по одному разу, так как по определению множества один и тот же элемент может быть посчитан лишь один раз (см. мультимножество.)

Классом называют множество, (или нечто, ради избежания парадоксов не называемое множеством,) элементы которого не перечислены, а определены через предикат, — некоторое свойство, которым объект может обладать или нет.

Например, на данном множестве, класс эквивалентности a, это подмножество, содержащее все элементы, эквивалентные a.

[править] История

Слово «множество» (нем. Menge) по отношению к абстрактным наборам формальных объектов впервые употреблено в работе Бернарда Больцано «Парадоксы бесконечного» от 1851 года,[1] где он закладывает философские начала исследования бесконечных множеств чисел.

Теоретическим основателем наивной теории множеств считается Георг Кантор.

[править] В языке

[править] См. также

[править] Источники

  1. «Парадоксы бесконечнаго», перевод от 1911 года.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты