Аллегория (теория категорий)
Перейти к навигации
Перейти к поиску
В математической теории категорий аллегория — это категория с некоторыми структурными элементами категории множеств и двоичных отношений между ними. Так, аллегория представляет систему отношений так, как «обычная» категория сопоставляет функции.
Строго говоря, аллегория это категория, где
- каждому морфизму R:X→Y соответствует анти-инволюция, то есть морфизм R°:Y→X; и
- каждой паре морфизмов R,S:X→Y с общими областями определения и значения соответствует пересечение, то есть морфизм R∩S:X→Y
и они такие, что
- пересечения идемпотентны (R∩R=R), коммутативны (R∩S=S∩R) и ассоциативны (R∩S)∩T=R∩(S∩T);
- анти-инволюция дистрибутивна по композиции ((RS)°=S°R°) и пересечению ((R∩S)°=S°∩R°);
- композиция полудистрибутивна по пересечению (R(S∩T)⊆RS∩RT, (R∩S)T⊆RT∩ST); и
- соблюдён закон модульности (RS∩T⊆(R∩TS°)S).
Первичный пример аллегории это категория множеств и реляций (отношений). Объекты той категории множества, а морфизм из а в б это бинарное отношение между а и б. Композиция и пересечение морфизмов там композиция и пересечение отношений.