Расширение понятия числа

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Понятие числа от Евдокса до Клиффорда — Владлен Тиморин // ПостНаука

Расширение понятия числа́ — это «новая» область значений для числовых функций, которые не могли бы найти значения в «старой» (до расширения) области, при «постоянстве формальных законов» (Hankel, 1867, § 3.) — например, тех же арифметических равенств.

Первоосновой всех этих объектов являются натуральные числа. Например, нет натурального числа́, которое означало бы половину, однако «половина», «середина отрезка», «равная пропорция» суть термины, вполне строго соответствующие операции деления единицы на двойку: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tfrac{1}{2}} . Обобщение этого построения до всех возможных значений выражения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tfrac{a}{b}\;a,b \in \mathbb{N}} — есть расширение понятия числа от натуральных Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{N}} к неотрицательным рациональным Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{Q}\ge 0} , при котором натуральные пропорции 1:1, 2:1 … n:1 суть частный случай: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall a,b \in \mathbb{N}\; \tfrac{ab}{b} \equiv a = \tfrac{a}{1} \in \mathbb{Q}} .

С другой стороны:

  • Отношение равенства позволяет определить ноль, как натуральное число, сумма которого с любым натуральным числом равна тому числу: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1+0=1} , то есть нейтральный элемент — единица — по сложению.
    • На равенствах выражений основан вычислительный приём уравнения.
  • Операция вычитания, — инверсия (обращение, «переворот») сложения: 1+1−1=1; 1−1=0. Вычитание большего числа из меньшего требует расширения системы до Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{Z}}  — алгебраического кольца целых чисел: 1−(1+1)=−1

Введение дробей расширяет кольцо целых чисел до поля рациональных чисел, которое можно мыслить как всевозможные несократимые отношения a/b, где a и b — целые числа, b > 0.

Это простейшие примеры, однако, знак равенства =, отрицательные числа и ноль не употребляются классическими математиками Греции и Рима.

Логическая же невозможность точного дробного (рационального, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{Q}} ) вычисления даже таких простых геометрических формализмов, как диагональ квадрата Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2a}} или длина единичной окружности π — ведут к допущению иррациональных (или, соответственно, трансцендентных) чисел, не выразимых в конечных арифметических (или алгебраических) соотношениях, но — по факту их принадлежности континууму — состоящих во множестве действительных чисел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{R}} . В школьных учебниках те обычно представляются как бесконечные и допустимо апериодичные десятичные дроби.

Алгебраическое замыкание поля действительных чисел образует поле комплексных чисел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{C}} . Его можно представлять как поле действительных чисел, расширенное с помощью мнимой единицы i.

Примеры дальнейших расширений понятия числа: гиперкомплексные, трансфинитные, p-адические, сюрреальные, и́гры…

См. также[править]

 
Числовые системы
↑
[+]
Счётные
множества

Натуральные числа (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{N}} ) • Целые (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{Z}} ) • Рациональные (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{Q}} ) • Алгебраические (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}} ) • Периоды • Вычислимые

Действительные числа
и их расширения

Действительные (вещественные) (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{R}} ) • Комплексные (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{C}} ) • Кватернионы (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{H}} ) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{O}} ) • Седенионы (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{S}} ) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные

Прочие
числовые системы

Кардинальные числа • Порядковые (трансфинитные, ординалы) • p-адические • Сверхнатуральные • Сюрреальные

Иные классы чисел

Двойные • Иррациональные • Трансцендентные • Числовой луч • Положительные числа • Простые числа • Бикватернионы • Координатизация • Расширение понятия числа

Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Расширение_понятия_числа&oldid=1532889