Расширение понятия числа

Понятие числа от Евдокса до Клиффорда — Владлен Тиморин // ПостНаука

Расширение понятия числа́ — это «новая» область значений для числовых функций, которые не могли бы найти значения в «старой» (до расширения) области, при «постоянстве формальных законов» (Hankel, 1867, § 3.) — например, тех же арифметических равенств.

Первоосновой всех этих объектов являются натуральные числа. Например, нет натурального числа́, которое означало бы половину, однако «половина», «середина отрезка», «равная пропорция» суть термины, вполне строго соответствующие операции деления единицы на двойку: ${\tfrac {1}{2}}$. Обобщение этого построения до всех возможных значений выражения ${\tfrac {a}{b}}\;a,b\in \mathbb {N}$ — есть расширение понятия числа от натуральных $\mathbb {N}$ к неотрицательным рациональным $\mathbb {Q} \geq 0$, при котором натуральные пропорции 1:1, 2:1 … n:1 суть частный случай: $\forall a,b\in \mathbb {N} \;{\tfrac {ab}{b}}\equiv a={\tfrac {a}{1}}\in \mathbb {Q}$.

С другой стороны:

• Отношение равенства позволяет определить ноль, как натуральное число, сумма которого с любым натуральным числом равна тому числу: $1+0=1$, то есть нейтральный элемент — единица — по сложению.
  • На равенствах выражений основан вычислительный приём уравнения.
• Операция вычитания, — инверсия (обращение, «переворот») сложения: 1+1−1=1; 1−1=0. Вычитание большего числа из меньшего требует расширения системы до $\mathbb {Z}$ — алгебраического кольца целых чисел: 1−(1+1)=−1

Введение дробей расширяет кольцо целых чисел до поля рациональных чисел, которое можно мыслить как всевозможные несократимые отношения a/b, где a и b — целые числа, b > 0.

Это простейшие примеры, однако, знак равенства =, отрицательные числа и ноль не употребляются классическими математиками Греции и Рима.

Логическая же невозможность точного дробного (рационального, $\mathbb {Q}$) вычисления даже таких простых геометрических формализмов, как диагональ квадрата ${\sqrt {2a}}$ или длина единичной окружности π — ведут к допущению иррациональных (или, соответственно, трансцендентных) чисел, не выразимых в конечных арифметических (или алгебраических) соотношениях, но — по факту их принадлежности континууму — состоящих во множестве действительных чисел $\mathbb {R}$. В школьных учебниках те обычно представляются как бесконечные и допустимо апериодичные десятичные дроби.

Алгебраическое замыкание поля действительных чисел образует поле комплексных чисел $\mathbb {C}$. Его можно представлять как поле действительных чисел, расширенное с помощью мнимой единицы i.

Примеры дальнейших расширений понятия числа: гиперкомплексные, трансфинитные, p-адические, сюрреальные, и́гры…

См. также

• Координатизация

Числовые системы ↑ [+]
Счётные множества	Натуральные числа ($\scriptstyle \mathbb {N}$) • Целые ($\scriptstyle \mathbb {Z}$) • Рациональные ($\scriptstyle \mathbb {Q}$) • Алгебраические ($\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$) • Периоды • Вычислимые
Действительные числа и их расширения	Действительные (вещественные) ($\scriptstyle \mathbb {R}$) • Комплексные ($\scriptstyle \mathbb {C}$) • Кватернионы ($\scriptstyle \mathbb {H}$) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ($\scriptstyle \mathbb {O}$) • Седенионы ($\scriptstyle \mathbb {S}$) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные
Прочие числовые системы	Кардинальные числа • Порядковые (трансфинитные, ординалы) • p-адические • Сверхнатуральные • Сюрреальные
Иные классы чисел	Двойные • Иррациональные • Трансцендентные • Числовой луч • Положительные числа • Простые числа • Бикватернионы • Координатизация • Расширение понятия числа