Координатизация

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Координатизация — логическая переработка некоей системы понятий или структуры данных, ведущая к освоению средствами количественной математики: числами, порядками, пространствами и, в идеальном итоге, — алгебраически замкнутыми системами отношений меры. Является главным, если не единственным, путём количественной математизации научного знания.

[править] Историческое развитие координатизации

Идея координатизации, и так, вообще, математизации, восходит к Галилею, который сформулировал научную программу «Измерить всё, что измеримо». Метод координат, позволяющий проводить геометрические рассуждения алгебраическими методами — и, как выяснено позже, сводящий геометрию к алгебре, — был ввёден Пьером де Ферма и Рене Декартом в XVII веке. Термин «координатизация», согласно И. Р. Шафаревичу, ввёл немецкий математик Герман Вейль. Сам Шафаревич считал координатизацию ключевой характеристикой алгебры, той ролью и задачей, которым та служит в математике.

К древнейшим примерам внедрения координатизации Шафаревич относит счёт (дающий пример оперирования) и пересчёт (дающий пример координатизации), которые, в частности, позволяют делать заключения о числе предметов, не перебирая их.

Расширение понятия числа позволяет знакомые арифметические операции применять для более свободных, обширных координатных «пространств» (множеств) целых и рациональных чисел. Попытка древними греками измерить — точно выразить числом — длину диагонали квадрата с единичной длиной сторон, осветила необходимость существования иррациональных мер величины.

Измерения естественным образом приводит к соответствию между точками прямой и вещественными числами, которыми в классической физике выражаются фундаментальные величины: длительность по пространству, длительность по времени, масса. На практике, однако, измерение непрерывно меняющейся физической величины всегда делается с конечной точностью, и иррациональное число не может служить значением (данным) такого измерения.

Портрет Галилео Галилея (1635) кисти Юстуса Сустерманса

Развитие физики с необходимостью измерять физические величины привело в XVII веке итальянского учёного Галилео Галилея к выдвижению амбициозной программы по внедрению координатизации:

Тот, кто хочет решать вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу. Следует измерять то, что измеримо, и делать измеримым то, что таковым не является.

Этот принцип координатизации надолго стал магистральным направлением математизации научного знания, которая, в свою очередь, во многом предопределила успех дальнейшего развития науки и технологии.

Количественная математизация знания основана на понятиях величины и меры величины. Величина — свойство, благодаря которому объект можно охарактеризовать в отношениях увеличения и уменьшения. Мера величины — функция, сопоставляющая каждому состоянию величины некоторого числа́ (обычно вещественного) путём сравнения с эталоном-единицей. Классическими примерами измеримых величин является расстояние и время. При этом равным величинам должны соответствовать равные числа, а большей величине — большее число.

Количественная математизация определяется диалектическим взаимодействием математической теории объекта и процедур измерения величин. Прогресс в первом ведет к прогрессу во втором, и наоборот. Часто первым этапом количественной математизации может стать введение условной или неадекватной шкалы, позволяющей проводить лишь какое-нибудь — пусть грубое или неточное — измерение.

Введение системы координат на плоскости и в пространстве привело к появлению аналитической геометрии. Координаты позволяют представлять точки плоскости парами вещественных чисел, а точки эвклидова пространства задавать тройками чисел, означающих величи́ны отступов от точки отсчёта по каждому из трёх направлений-прямых, перпендикулярных между собой. Успех аналитической геометрии состоит в том, что она координатизирует также и кривые, и поверхности, и прочие фигуры классической геометрии, да и не только. Например, в рамках этого подхода кривая задаётся на плоскости уравнением F(x, y) = 0; в частности, прямая задаётся многочленом первой степени F = ax + by + c, который описывается тремя коэффициентами a, b и c. Конические сечения задаются многочленами второй степени, которые также описываются набором своих коэффициентов… Постепенно всё более обширные классы геометрических объектов были описаны, как уравнения с решениями в координатном пространстве.

Для выражения «не только действительных» корней уравнений алгебраических функций через число был сделан переход (расширение) от вещественных чисел к комплексным, что дало новые возможности для развития анализа, включая изучение эллиптических функций и введение римановых поверхностей.


[править] Расширение понятия координатизации

На первый взгляд, программа Галилея сводится к созданию всё более изощрённых методов измерения — математических средств вроде систем координат, физических приборов для сбора научных данных, а также языковых средств — начиная с простых арифметических выражений — требуемых для записи или кодирования («цифрования») измеряемых значений. Когда известных чисел оказывается недостаточно, идёт очередное расширение понятия числа по схеме:

1 и 2 («много») → натуральные числа → целые → рациональные → вещественные → комплексные числа

Тем не менее, чисел оказывается недостаточно, и появляются не укладывающиеся в эту последовательность векторы, матрицы, гиперкомплексные числа (исторически первый пример — кватернионы), конечные поля, p-адические числа. Рассмотрение бесконечно малых преобразований привело к изучению дифференциальных операторов с операцией «скобка Пуассона» со свойствами, кардинально отличными от ранее известных операций.

По Шафаревичу, принцип координатизации можно сохранить, допуская разнообразность множества числоподобных объектов, выступающих в качестве координат, и что такие объекты не беднее, чем мир физических и математических объектов, который подлежит координатизации. Эти числоподобные объекты должны удовлетворять следующим требованиям:

  • Индивидуализируемость. Например, хотя все точки прямой благодаря её однородности обладают одинаковыми свойствами, все представляющие эти точки числа индивидуальны и различны: 5, 11/36, [math]\sqrt {3}[/math], e, …
  • Абстрактность — необходима, чтобы числоподобные объекты отражали широкий круг явлений.
  • Над ними можно производить операции, отражающие фундаментальные черты ситуаций, в которых применяются числоподобные объекты. Примерами таких операций являются сложение, умножение, сравнение по величине, интегрирование, дифференцирование, взятие скобки Пуассона и многие иные.

Итак, любые объекты, ставшие предметом математического исследования, могут быть при вышеописанном подходе координатизированы, но «обычных» чисел — при всей их бесконечности — оказывается недостаточно. По Шафаревичу процесс построения и исследования возникающих числоподобных объектов («величин») и составляет место алгебры в математике. Любой раздел алгебры проходит при этом два этапа в своём развитии. Сначала рождается новый тип алгебраических объектов, решающий некоторую проблему координатизации. Затем происходит становление и развитие теории этого нового класса объектов.

Как пример координатизации для появившейся в XX веке квантовой механики, Шафаревич приводит словарь квантовой механики, ставящий в соответствие физическим понятиям математические объекты:

  1. состояние физической системы → прямая φ в бесконечномерном гильбертовом пространстве
  2. скалярная физическая величина → самосопряжённый оператор
  3. одновременно измеримые величины → коммутирующие операторы
  4. величина, имеющая точное значение λ в состоянии φ → оператор с собственным вектором φ, у которого собственное значение λ
  5. множество значений величины, получаемых путем измерения → спектр оператора
  6. вероятность перехода из состояния φ в состояние ψ → |(φ, ψ)|, где |φ| = |ψ| = 1.

[править] Литература

  • Тетерин Г. Н. О координатизации — термине и понятии // Вестник СГУГиТ (Сибирского государственного университета геосистем и технологий). Выпуск № 4 (20), 2012. (про другую координатизацию)
  • Шафаревич И. Р. Алгебра-1. — М., 1986.


Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты