Математизация научного знания

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
А 1.16 Математизация теоретического знания // Philoso FAQ

Математизация научного знания (математизация науки, математизация теоретического знания) — проникновение математики и, в итоге, логики в научные теории и возрастание её роли по мере их развития. Изучается в рамках философии науки и истории математики.

Математика осваивает опытные науки двумя путями: количественным и неколичественным. Первый вводит в теорию отношения величины, между которыми ищутся, в свою очередь, функциональные отношения. Неколичественный путь математизации заключается во введение в теорию знаковых схем, моделирующих отношения внутри теории, вплоть до построения аксиоматических формальных систем.

Содержание

[править] Программа Галилея

Портрет Галилео Галилея (1635) кисти Юстуса Сустерманса

Развитие современной науки и цивилизации во многом основано на принципе математизации познания, который был сформулирован в XVII веке итальянским ученым Галилео Галилеем. Галилей предложил строить модели изучаемых явлений и проектируемых экспериментов на математической основе, выводы которой он рассматривал как самое достоверное знание: «книга науки написана на языке геометрии» (геометрией тогда называли математику). Он заявил амбициозную программу, ставшую в дальнейшем наиболее плодотворным двигателем наук:

Тот, кто хочет решать вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу. Следует измерять то, что измеримо, и делать измеримым то, что таковым не является.

Говоря современными словами, это координатизация («алгебраизация») экспериментальных данных.

Игорь Шафаревич в своей речи «Математическое мышление и природа» представил веру в математизацию догмой научной идеологии. По Шафаревичу суть этой догмы, что всё существенное в природе может быть измерено, превращено в числа или другие математические объекты, а в дальнейшем путем совершения над этими объектами математических манипуляций можно спрогнозировать и подчинить своей воле все явления природы и общества. Шафаревич говорит, что «мы живем в математической цивилизации — и, может быть, умираем вместе с нею».

По Канту каждая область сознания является наукой настолько, насколько в ней содержится математика. Анри Пуанкаре утверждал, что математизация является окончательной, идеальной фазой развития любой научной концепции.

Шафаревич подчеркивает, что в научной идеологии математизация играет ту же роль, что стандартизация в технике, а также что научная идеология способна трансформировать решение глубоких проблем в стандартизированные логические схемы. С другой стороны, вслед за Пуанкаре Шафаревич настаивает на том, что математика не является простым собранием силлогизмов, а силлогизмы складываются в математике в «структуру», обладающую красотой.

[править] Количественная математизация знания

Количественная математизация знания основана на понятиях величины и меры величины. Величина — свойство объекта, благодаря которому объекту можно приписать свойство увеличения и уменьшения. Мера величины — функция, сопоставляющая каждому состоянию величины некоторого числа́ (обычно вещественного) путем сравнения с эталоном. Классическими примерами измеримых величин является расстояние и время. При этом равным величинам должны соответствовать равные числа, а большей величине — большее число.

Количественная математизация определяется диалектическим взаимодействием математической теории объекта и процедур измерения величин. Прогресс в первом ведет к прогрессу во втором, и наоборот. Часто первым этапом количественной математизации может стать введение условной или неадекватной шкалы, позволяющей проводить хоть какое-нибудь, грубое или приближенное измерение.

[править] Качественная математизация знания

Уже в XIX веке Джордж Буль, Герман Грассман, Джозайа Гиббс и другие осознали, что математику можно рассматривать как специфический язык, позволяющий осуществлять переход от одних утвержденй к другим. Отсюда следует, что математика может быть применима всюду, где удается формализовать подобную дедукцию, несмотря на то, касаются эти утверждения меры величин или нет.

Примером подобной задачи и дедукции является задача Эйлера о мостах Кёнигсберга: можно ли организовать прогулку по городу таким образом, чтобы пройти по всем мостам лишь по одному разу и вернуться в начало? Разумеется, это зависит от данного взаиморасположения (а не просто численного количества) мостов — от дискретной формы пространства, соединяемого мостами.

Konigsberg bridges.png7 bridges.svgKönigsberg graph.svg

Упрощённая схема мостов Кёнигсберга.
Граф кёнигсбергских мостов

Граф кёнигсбергских мостов имел четыре (синим) нечётные вершины (вершины, к которым ведёт чётное число рёбер), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды, поскольку граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

Другой пример — использование алгебры логики для анализа электрических цепей (логическое выражение «A и B» служит для описания функционирования двух последовательных контактов, выражение «А или B» описывает функционирование двух параллельных контактов, более сложные выражения описывают более сложные цепи).

Существуют неколичественные модели в биологии (работы Д. Вуджера и Ю. Петрова).

Количественная математизация знания основана на возможности измерения величин изучаемой области знания, а качественная математизация обусловлена логической связанностью понятий, обозначающих ситуации, предметы и отношения.

[править] Этапы математизации знания

По И. А. Акчурину выделяются три этапа математизации научного знания, вне зависимости от области знания.

На первом этапе происходит количественная обработка эмпирических знаний. На основе установления способов измерения изучаемых величин формулируются первоначальные количественные зависимости между ними.

На втором этапе математизации знания происходит построение моделей отдельных процессов на базе первоначальных зависимостей, открытых на первом этапе. На этом этапе математизация не охватывает всех принципиальных положений теории.

На третьем этапе происходит дифференциация знания, то есть первоначальный объект распадается на ряд элементарных объектов и этот объект однозначно определяется в некоторой математической теории. Базовые принципы построенной теории изучаемого объекта однозначно выражаются на языке данной математической теории, а все положения теории могут быть выведены путем формальных преобразований.

Как примеры полностью математизированных теорий Акчурин приводит классическую механику, классическую электродинамику и квантовую механику.

Перминов уточняет, что вышеприведенные этапы могут быть применимы и к неколичественно математизируемым теориям. По В. Я. Перминову, полная математизация теории — это момент ее развития, когда она может быть полностью аксиоматически построена.

Полностью математизированная теория консервируется в своих исходных принципах и ее дальнейшее развитие идет за счет увеличения области приложения и развития математических средств.

Консервация теории говорит об ограничении аспекта исследования через саму форму теории и делает необходимым появления более общих теорий, расширяющих предмет исследования.

Полная математизация некоторых теорий, по-видимому, достигнута лишь в физике. В. Я. Перминов делает вывод, что полная математизация всего знания невозможна, что не противоречит тому, что отдельные области научного знания приобретут законченную математическую форму.

[править] См. также

[править] Литература

  • Акчурин И. А. Место математики в системе наук // «Вопросы философии», 1967, № 1.
  • Беляев Е. А., Киселева Н. А., Перминов В. Я. Некоторые особенности математического знания — М.: Издательство Московского университета, 1975. Глава V. Структура и этапы математизации научного знания.
  • Рузавин Г.И. Математизация научного знания. М., 1984.
  • Шафаревич И. Р. Математическое мышление и природа.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты