Математическая аналогия

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Научные бои: Андрей Трепалин. Аналогии математических конструкций в реальной жизни // Политехнический музей
Math analogy1.PNG
Math analogy2.PNG
Math analogy3.PNG
Math analogy4.PNG

Математическая аналогия (аналогия в математике) — применение умозаключения, основанного на аналогии в математике. Развитие математики сопровождается процессом выявления взаимосвязей между различными классами математических объектов, который тесно связан с выявлением аналогий. Эти аналогии позволяют строить умозаключения, подобные уже имеющимся, но примененные к новым математическим объектам, что приводит к появлению новых гипотез, теорий, теорем и их доказательств, которые основаны на уже известных.

Математическая аналогия позволяет устанавливать связи между разными областями математики, обеспечивая ее единство.

Понятие математической аналогии рассматривается в работах по философии и истории математики.

Содержание

[править] Классификация аналогий

Аналогии основаны на сходстве. В математике сходство заменяется на тождество, к которому стремится все более близкое сходство тех или иных объектов. А к тождественным математическим объектам можно применить одни и те же математические рассуждения. Если объекты мыслятся не полностью совпадающими, то тождество заменяется на локальное тождество — совпадение некоторой части свойств.

Разным тождествам соответствуют разные типы аналогий, то есть аналогии можно классифицировать по соответствующим им типам тождеств.

Беляев Е. А. и др. в книге «Некоторые особенности математического знания» выделяют следующие типы математических аналогий: аналогия применения (внешняя и внутренняя), аналогия обобщения, аналогия контакта, предельная аналогия, аналогия преобразований, тривиальная аналогия. Все они рассмотрены ниже.

[править] Аналогия применения

Глубинное сходство между внешне непохожими системами объектов позволяет применять к ним один и тот же математический аппарат. Этот тип аналогии подразделяет на внешнюю и внутреннюю аналогию применения.

Внешняя аналогия наиболее отвечает за связь математического аппарата и описываемых им явлений реального мира. Благодаря этой аналогии зародилась арифметика, геометрия и другие области математики, известные с древности. Согласно материалистической трактовке, именно внешняя аналогия отвечает за понятия числа, фигуры и др., которые произошли в результате взаимодействия человека окружающим его миром (Кант, Юм, и их последователи-неопозитивисты полагают, что эти понятия априорны).

Характерный пример внешней аналогии — описание физических процессов с помощью дифференциальных уравнений, которое восходит к Ньютону. При этом одно и то же дифференциальное уравнение применимо в ситуациях, которые на первый взгляд не имеют ничего общего.

Внутренняя аналогия появляется там, где один и тот же математический аппарат может быть применен для нужд самой математики. Например, в различных областях реализуются теория групп, теория множеств, теория обобщенных функций, топология. Аппарат топологии, появившийся в середине XIX века, проникает в самые разные области математики, обеспечивая их единство.

[править] Аналогия обобщения

Аналогия обобщения представляет собой тождество связанных операций обобщения. Под обобщением (математическим) понимается процесс расширения области действия некоего обобщаемого объекта, который сопровождается изменениями в его структуре при сохранении некоторого исходного ядра этого объекта. Обобщаемый при этом математический объект должен стать частным случаем своего обобщения.

Типичной ситуацией является, когда сначала рассматриваются функции от одной переменной, уравнения первого порядка, пространства 1, 2 или 3 измерений, а потом происходит обобщение до n переменных, n-го порядка и n измерений, где n — любое натуральное число Возможно также обобщение путем введения, например, бесконечного (счетного) числа измерений, таким образом появляется гильбертово пространство вместо n-мерного евклидова пространства.

[править] Аналогия контакта

Между двумя и более классами объектов может быть установлена связь на основе совпадения систем свойств этих классов. Одним из примеров является аналогия между теорией чисел и теорией функций, восходящая к работам Кронекера, Дедекинда и Вебера. Декарт подметил наличие общих свойств у алгебры геометрии, что привело к алгебраизации геометрии при помощи метода координат и внедрению понятия непрерывности в алгебру (на последнее указывал Н. Лузин). Таким образом, аналогия контакта связана с аналогией обобщения.

[править] Предельная аналогия

Предельная аналогия основана на применении предельного преобразования в математике. Переход к пределу позволяет выявить у нового предельного объекта тех или иных свойств. Например, предельный объект имеют аналогию с исходным объектом. Так при предельных переходах сохраняется свойства неравенства, суммы, произведения.

[править] Аналогия преобразований

Аналогия преобразований заключается в установлении у математических объектов совпадающих свойств после совершения над ними некоторого математического преобразования. Она основана на том, что преобразования обычно обладают теми или иными инвариантами. На этом соображении построена теория инвариантов. Саму математическую аналогию философы рассматривают как некоторое преобразование, поэтому аналогия преобразований организует все типы аналогий в единую систему, позволяющую говорить о существовании метода математических аналогий.

[править] Тривиальная аналогия

Тривиальная аналогия состоит в том, что к объектам с широкой системой одинаковых свойств могут применены одинаковые методы или приемы. Может проявляться в частом применении в математической литературе слов «аналогично», «по аналогии», причем подразумевается, что читатель сам легко догадается, что имеется в виду.

При тривиальной аналогии рассуждение легко повторить применительно к другому объекту («проверить непосредственно»), быть может, изменяя некоторые несущественные детали. Тривиальная аналогия помогает излагать рассуждения в более сжатом виде и облегчает доказательство.

[править] Роль аналогии в математике

Математическая аналогия наряду с аксиоматическим методом является фактором развития математики.

Математическая аналогия:

  • позволяет получать новые математические результаты;
  • устанавливает связи между различными областями математики, способствуя образованию единой системы знаний.

Аналогия имеет большое значение при обучении математике, так как она позволяет добиться более глубокого понимания материала и помогает решать конкретные математические задачи.

[править] Цитаты

Возможно не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны без аналогии.
Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств, более сильный математик — тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии.

[править] См. также

[править] Литература

  • Акчурин И. А. Место математики в системе наук // «Вопросы философии», 1967, № 1.
  • Беляев Е. А., Киселева Н. А., Перминов В. Я. Некоторые особенности математического знания — М.: Издательство Московского университета, 1975. Гл. 2. Математическая аналогия и ее роль в развитии математики.
  • Бражников А. Аналогия — инструмент поиска и систематизации знаний // ИД «Первое сентября», газета «Математика», № 24, 2009.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты