Плоскость (геометрия)

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
← другие значения
Две плоскости, которые пересекаются
Плоскость доступно и просто // Высшая математика доступно и просто [17:12]

Плоскость — одно из основных понятий геометрии. Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, проходящие через какие-либо две точки плоскости. В алгебре плоскость определяется как двухмерное аффинное пространство.

В планиметрии плоскость рассматривается как универсуум, к которому принадлежат все геометрические фигуры. Стереометрия рассматривает бесконечное множество плоскостей, принадлежащих к пространству.

[править] Некоторые характерные свойства плоскости

  • Плоскость — поверхность, которая полностью содержит каждую прямую, соединяющую ее произвольные точки;
  • Плоскость — множество точек, равноудаленных от двух заданных.

[править] Уравнения плоскости

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (18161818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

  • Общее уравнение (полное) плоскости
[math]Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)[/math]

где [math]A,B,C[/math] и [math]D[/math] — постоянные, причём [math]A,B[/math] и [math]C[/math] одновременно не равны нулю; в векторной форме:

[math](\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0[/math]

где [math]\mathbf{r}[/math] — радиус-вектор точки [math]M(x,y,z)[/math], вектор [math]\mathbf{N}=(A,B,C)[/math] перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора [math]\mathbf{N}[/math]:

[math]\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},[/math]
[math]\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},[/math]
[math]\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.[/math]

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При [math]D=0[/math] плоскость проходит через начало координат, при [math]A=0[/math] (или [math]B=0[/math], [math]C=0[/math]) П. параллельна оси [math]Ox[/math] (соответственно [math]Oy[/math] или [math]Oz[/math]). При [math]A=B=0[/math] ([math]A=C=0[/math], или [math]B=C=0[/math]) плоскость параллельна плоскости [math]Oxy[/math] (соответственно [math]Oxz[/math] или [math]Oyz[/math]).

  • Уравнение плоскости в отрезках:
[math]\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,[/math]

где [math]a=-D/A[/math], [math]b=-D/B[/math], [math]c=-D/C[/math] — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях [math]Ox, Oy[/math] и [math]Oz[/math].

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку [math]M(x_0,y_0,z_0)[/math] перпендикулярно вектору нормали [math]\mathbf{N}(A,B,C)[/math]:
[math]A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;[/math]

в векторной форме:

[math]((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.[/math]
  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки [math]M(x_i,y_i,z_i)[/math], не лежащие на одной прямой:
[math]((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0[/math]

(смешанное произведение векторов), иначе

[math]\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.[/math]
  • Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
[math]x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)[/math]

в векторной форме:

[math](\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0,[/math]

где [math]\mathbf{N^0}[/math]- единичный вектор, [math]p[/math] — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

[math]\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/math]

(знаки [math]\mu[/math] и [math]D[/math] противоположны).

[править] Ссылки

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты