Плоскость (геометрия)

← другие значения

Две плоскости, которые пересекаются

Плоскость // Зыкова Высшая математика [32:09]

Плоскость — одно из основных понятий геометрии.

Плоскость — бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, проходящие через какие-либо две точки плоскости.

В алгебре плоскость определяется как двухмерное аффинное пространство.

В планиметрии плоскость рассматривается как универсуум, к которому принадлежат все геометрические фигуры. Стереометрия рассматривает бесконечное множество плоскостей, принадлежащих к пространству.

Некоторые характерные свойства

• Плоскость — поверхность, которая полностью содержит каждую прямую, соединяющую ее произвольные точки;
• Плоскость — множество точек, равноудаленных от двух заданных.

Уравнения плоскости

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (1816—1818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

• Общее уравнение (полное) плоскости

$Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)$

где $A,B,C$ и $D$ — постоянные, причём $A,B$ и $C$ одновременно не равны нулю; в векторной форме:

$(\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0$

где $\mathbf {r}$ — радиус-вектор точки $M(x,y,z)$, вектор $\mathbf {N} =(A,B,C)$ перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора $\mathbf {N}$:

$\cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

$\cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

$\cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.$

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При $D=0$ плоскость проходит через начало координат, при $A=0$ (или $B=0$, $C=0$) П. параллельна оси $Ox$ (соответственно $Oy$ или $Oz$). При $A=B=0$ ($A=C=0$, или $B=C=0$) плоскость параллельна плоскости $Oxy$ (соответственно $Oxz$ или $Oyz$).

• Уравнение плоскости в отрезках:

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,$

где $a=-D/A$, $b=-D/B$, $c=-D/C$ — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях $Ox,Oy$ и $Oz$.

• Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ перпендикулярно вектору нормали $\mathbf {N} (A,B,C)$:

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;$

в векторной форме:

$((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.$

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M(x_{i},y_{i},z_{i})$, не лежащие на одной прямой:

$((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0$

(смешанное произведение векторов), иначе

$\left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.$

• Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)$

в векторной форме:

$(\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,$

где $\mathbf {N^{0}}$- единичный вектор, $p$ — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

$\mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$

(знаки $\mu$ и $D$ противоположны).

Ссылки

• Статья в Большой советской энциклопедии