Прямая

Изображение прямых в прямоугольной системе координат.

Прямая или прямая линия — одно из основных понятий геометрии.

Общая информация

Введено античными математиками для обозначения прямых объектов (то есть без кривизны) с несущественной шириной и глубиной.

Прямые являются идеализацией таких объектов.

Евклид описывает прямую, как линию бесконечной длины, которая расположена одинаково по отношению к любой своей точке. Он определил набор постулатов, как основных свойств, принимаемых без доказательств, а уже из них делаются логические доказательства, которые и образуют всю геометрию, которая сейчас называется евклидовой геометрией. Начиная с конца XIX века в активном употреблении находятся и другие геометрии, такие как неевклидовы геометрии, проективная и аффинная геометрии.

В современной математике, в которой есть много геометрических концепций, понятие линии в основном зависит от способа, которым геометрия описывается. Например, в аналитической геометрии, прямая определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют линейное уравнение. В более абстрактных концепциях, таких, как геометрия инцидентности, прямая может быть независимым объектом, отличным от тех точек, из которых она состоит.

При аксиоматическом описании геометрии, понятие прямой линии обычно остается неопределенным, принимается за одно из исходных понятий (так называемое неопределенное понятие), которое лишь косвенно определяется аксиомами геометрии. Преимуществом такого подхода является гибкость в использовании такой геометрии. Так в дифференциальной геометрии, прямую можно понимать как геодезическую линию (кратчайший путь между двумя точками), а в проективной геометрии прямая является двумерным векторным пространством (все линейные комбинации двух независимых векторов). Такая гибкость полезна не только математикам, но и другим. Например, физики могут представить путь прохождения света как прямую линию.

Определение и описание

Все определения в конце концов является циркулярными по своей природе, поскольку они зависят от понятий, которые также должны иметь определения, и эту цепь зависимостей нельзя продолжать бесконечно без возврата назад к исходной точке. Поэтому, чтобы избежать такого зацикливания, определенные понятия должны быть приняты как такие, которые не нуждаются в определении. В геометрии, таким понятием часто является понятие прямой, которое является одним из фундаментальных понятий. В тех случаях, когда прямая может быть определенным понятием, как в аналитической геометрии, за фундаментальные понятия избираются какие-то другие примитивы. Если понятие прямой является фундаментальным неопределенным понятием, тогда поведение и свойства прямой определяют с помощью аксиом, которым она должна удовлетворять.

При упрощенной трактовке геометрии, понятие или фундаментальное определение может быть слишком абстрактным. В таких случаях приводят описание или ментальный образ этого первоначального понятия, чтобы сформировать основу для выстраивания понятия, которое формально будет базироваться на неопределенных аксиомах. Некоторые авторы могут приводить такое описание вместо определения, пользуясь этим неформальным стилем представления. Но эти определения не являются верными, и не могут использоваться в формальных выводах утверждений. «Определение» прямой в математических трактатах Евклида подпадает под эту категорию. Даже при рассмотрении определенной системы геометрии (например, Евклидовой геометрии), между авторами не существует общепринятого согласия относительно того, каким должно быть неформальное описание прямой, и то, что оно не должно рассматриваться формально.

Свойства в евклидовой геометрии

• Через любую точку можно провести бесконечное множество прямых.
• Через любые две несовпадающие точки можно провести только одну прямую.
• Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или параллельны (следует из предыдущего).
• В трехмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
  • прямые пересекаются;
  • прямые параллельные;
  • прямые скрещивающиеся.

Уравнение

Примеры

• уравнение прямой, проходящей через две точки;
• уравнение прямой, равноудалённой от трёх точек;
• уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора;
• уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой;
• уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости;
• уравнение прямой, образованной пересечением двух плоскостей;
• уравнение проекции прямой на плоскость;
• уравнение перпендикуляра из точки к прямой;
• уравнение перпендикуляра из точки к плоскости;
• уравнение перпендикуляра к двум прямым.

Другие формулы

• расстояние;
• длина линии;
• площадь двухмерной фигуры;
• площадь поверхности трёхмерной фигуры;
• объём трёхмерной фигуры;
• точка;
• проекция;
• угол;
• уравнение прямой;
• уравнение плоскости.

Литература

• Coxeter, H.S.M (1969), «Introduction to Geometry» (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4, <https://archive.org/details/introductiontoge0002coxe>  (англ.)
• Faber, Richard L. (1983), «Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry», New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1  (англ.)