Уравнение перпендикуляра из точки к плоскости в трёхмерном пространстве

Уравнение перпендикуляра из точки к плоскости — это уравнение прямой, проходящей через точку в направлении нормали к плоскости.

Обозначения

${\bar {r}}=(x,y,z)$ — радиус-вектор точки перпендикуляра;

${\bar {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ — радиус-вектор точки;

${\bar {n}}_{1}=(A_{1},B_{1},C_{1})$ — нормаль к плоскости;

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ — уравнение плоскости.

Формулы:

Векторная форма:

$\left[\left({\bar {r}}-{\bar {r}}_{0}\right)\times {\bar {n}}_{1}\right]={\bar {0}}\Leftrightarrow {\bar {r}}={\bar {r}}_{0}+t{\bar {n}}_{1}$

Координатная форма:

${\frac {x-x_{0}}{A_{1}}}={\frac {y-y_{0}}{B_{1}}}={\frac {z-z_{0}}{C_{1}}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x=x_{0}+tA_{1}\\y=y_{0}+tB_{1}\\z=z_{0}+tC_{1}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{vmatrix}{\bar {i}}&{\bar {j}}&{\bar {k}}\\x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\A_{1}&B_{1}&C_{1}\end{vmatrix}}={\bar {0}}$

• Заметим, что формулы уравнения перпендикуляра из точки к плоскости аналогичны формулам уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости.

Другие уравнения:

• уравнение прямой, проходящей через две точки;
• уравнение прямой, равноудалённой от трёх точек;
• уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора;
• уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой;
• уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости;
• уравнение прямой, образованной пересечением двух плоскостей;
• уравнение проекции прямой на плоскость;
• уравнение перпендикуляра из точки к прямой;
• уравнение перпендикуляра из точки к плоскости;
• уравнение перпендикуляра к двум прямым.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.