Векторное пространство

Что такое линейное пространство // Ирина Аскольдовна Хованская [6:59]

Векторное (линейное) пространство — основное понятие линейной алгебры, обобщение множества всех векторов на плоскости или в пространстве с операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр.

Общая информация

Элементы линейного пространства называются векторами, но не делается никаких предположений относительно природы или происхождения этих элементов. Например, в функциональном анализе рассматриваются топологические векторные пространства, образованные из функций одной или нескольких переменных, а векторы состояния в квантовой механике описывают состояние квантовой системы. Матрицы заданного размера также образуют векторное пространство. Содержание следующих аксиом заключается в том, что независимо от природы элементов векторного пространства, их сложение и умножение на скаляр удовлетворяют правила «школьной алгебры».

В произвольном векторном пространстве не определены операции скалярного, векторного произведения; нормы или метрики. Эти операции могут вводиться как дополнительные структуры. Однако векторные пространства со скалярным или эрмитовым скалярным произведением играют важную роль как в линейной алгебре, так и за ее пределами, см. напр. гильбертово пространство.

Определение

Линейное пространство над полем $\mathbb {K}$ — это множество $L\!$ элементы которой называются векторами, в которой определены:

• бинарная операция $\ L\times L\to L$ сложения векторов: $({\vec {u}},{\vec {v}})\mapsto {\vec {u}}+{\vec {v}}$
• унарная операция $\ K\times L\to L$ умножения вектора на скаляр: $(\lambda ,{\vec {u}})\mapsto \lambda {\vec {u}}$ удовлетворяющие следующую систему аксиом:
• $L$ — коммутативная группа относительно операции сложения векторов:
  • ${\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}}$ (коммутативность добавления)
  • $({\vec {u}}+{\vec {v}})+{\vec {w}}={\vec {u}}+({\vec {v}}+{\vec {w}})$ (ассоциативность добавления)
  • $\exists {\vec {0}}\in L:\quad {\vec {u}}+{\vec {0}}={\vec {u}}$ (существование нулевого вектора)
  • $\exists -{\vec {u}}\in L:\quad {\vec {u}}+(-{\vec {u}})={\vec {0}}$ (существование противоположного вектора)
• ассоциативность и унитарность умножения на скаляры:
  • $\lambda (\mu {\vec {u}})=(\lambda \mu ){\vec {u}}$ (ассоциативность умножения на скаляры)
  • $1\cdot u={\vec {u}}$ (где $\ 1$ это единица поля $\mathbb {K}$ )
• дистрибутивность сложения и умножения на скаляр:
  • $(\lambda +\mu ){\vec {u}}=\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {u}}$
  • $\lambda ({\vec {u}}+{\vec {v}})=\lambda {\vec {u}}+\lambda {\vec {v}}$

Связанные определения

• Основными понятиями в линейном пространстве являются: линейная независимость векторов, базис, подпространство.
• Позже в векторное пространство было введено общее понятие модуля над кольцом, в определении которого поле $\mathbb {K}$ заменено на кольцо $\mathbb {K}$. Но в линейной алгебре оно не рассматривается из-за проблем с существованием базиса.

См. также

• Аффинное пространство
• Банахово пространство

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.