Обратная матрица

Обратная матрица – это такая матрица, которая при умножении на исходную и наоброт, при умножении на которую исходной, получается единичная матрица.

Обозначения

$n$ – порядок матрицы;

$n{\text{×}}n$ – размерность матрицы;

$a_{ij}$ – элемент матрицы $A_{n{\text{×}}n}$ , лежащий на пересечении $i$ -ой строки и $j$ -ого столбца матрицы;

$b_{ij}$ – элемент матрицы $B_{n{\text{×}}n}$ , лежащий на пересечении $i$ -ой строки и $j$ -ого столбца матрицы;

– исходная матрица $A_{n{\text{×}}n}$ ;

– обратная матрица $B_{n{\text{×}}n}$ ;

– единичная матрица $E_{n{\text{×}}n}$ .

Формула

• Заметим, что обратная матрица не существует, если определитель исходной матрицы равен нулю.
• Обратная матрица $(A^{-1})$ может быть получена разложением на треугольные $(A=T_{1}T_{2})$ и по формуле $(A^{-1}=T_{1}^{-1}T_{2}^{-1})$ .
• Обратная к единичной матрице $(E)$ равна единичной $(E^{-1}=E)$ .

Свойства:

• Заметим, что определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы.

Примеры:

n=2

n=3

Другие операции:

1. сложение матриц;
2. вычитание матриц;
3. умножение матрицы на число;
4. умножение матриц;
5. умножение клеточных матриц;
6. умножение треугольных матриц;
7. умножение элементов матриц;
8. извлечение корня из элементов матрицы;
9. деление матриц;
10. транспонирование матрицы;
11. обращение матрицы;
12. обращение клеточной матрицы;
13. обращение треугольной матрицы;
14. обращение матрицы методом окаймления;
15. обращение треугольной матрицы методом окаймления;
16. возведение в степень матрицы;
17. разложение матрицы на треугольные;
18. разложение симметричной матрицы на треугольные;
19. нахождение определителя;
20. нахождение минора;
21. нахождение алгебраического дополнения.

Ссылки

• Участник:Logic-samara