Ассоциативная алгебра
Ассоциативная алгебра — векторное пространство (над указанным полем, например, ℝ) снабжённое согласованной ассоциативной операцией «умножения».
Ассоциативная алгебра является частным случаем кольца. Так же, как и в случае колец, рассматривают ассоциативные алгебры с единицей — снабжённые нейтральным элементом 1 по умножению.
Можно также рассмотреть алгебру над кольцом, в случае чего вместо «векторного пространства» следует использовать более общее понятие модуля.
Примеры[править]
Коммутативные[править]
Некоторые ассоциативные алгебры также коммутативны, то есть ab = ba для любых элементов a и b. Алгебра многочленов над полем коммутативна сама и, при факторизации по идеалам, является источником многих других, в особенности алгебраических расширений исходного поля. Примером расширения являются комплексные числа ℂ — расширение действительных.
Некоммутативные[править]
Алгебра Клиффорда, построенная по векторному пространству размерности выше 1, имеет некоммутативное умножение. Простейший подобный пример — четырёхмерная алгебра кватернионов над действительными числами, являющая алгеброй Клиффорда двумерных евклидовых векторов.
В линейной алгебре[править]
«Стандартным» примером ассоциативной алгебры является множество End V линейных эндоморфизмов векторного пространства V. При фиксации базиса в конечномерном V перемножение линейных отображений реализуется как умножение матриц, а умножение отображений на скаляр — как умножение матрицы на число. Если размерность V не больше 1, то алгебра End V коммутативна.
Применения[править]
Помимо чистой математики, ассоциативные алгебры широко применяются в теоретический физике, в особенности для квантовых операторов.