Предмет математики

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
В.М. Тихомиров. Дискуссия с В.И. Арнольдом о том, что такое математика // Math-Net.Ru [1:19:00]

Предмет математики — то, что изучает математика как наука, выраженное в наиболее общей форме. Одно из возможных определений предмета математики — это изучение систем математических объектов. Проблема определения предмета математики тесно связана с проблемой определения самой математики и ее сути, что она из себя представляет.

Существуют различные подходы к определению предмета математики. В частности, в литературе высказывается мнение, что предмет математики менялся на протяжении ее развития. При этом достаточно актуальными остаются мысли, высказанные древнегреческими философами.

Содержание

[править] Математические объекты

Математика непосредственно изучает системы математических объектов. Эти объекты определяются в рамках самой математики (базовые объекты — через системы аксиом). Проблема их связи с объективной реальностью («априорность математики») не имеет однозначного разрешения и выходит за рамки математики (изучается в философии математики). Математические объекты возникают как результат человеческого мышления и не существуют в объективной реальности (согласно концепциям идеалистической философии, восходящим к Платону, математические объекты существуют в умопостигаемом мире или «мире идей»). Ф. Энгельс писал в «Диалектике природы»: «…вся так называемая чистая математика занимается абстракциями… все её величины суть, строго говоря, воображаемые величины…». Идеализированные объекты появляются и в других науках, но в них они сохраняют большее сходство с реальностью, в математике их подобие объективной реальности минимальное. Математика изучает системы отношений между математическими объектами, которые также не существуют в материальном мире. Тем не менее, ряд математических теорий находит приложения в качестве основы для моделей процессов реального мира, что является основой развития ряда современных наук — см. Математизация научного знания.

[править] Определения классиков

Существует ряд классических определений математики, актуальных до сих пор.

Одно из первых определений предмета математики дал Рене Декарт[1]:

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.
— Декарт

Лейбниц связал математику с воображением и логикой.

Универсальная математика - это логика воображения, /которая должна изучать/ … все, что в области воображения поддается точным определениям.
— Лейбниц

Определение Лейбница стало основой логицизма (философского подхода к математики, развивавшегося в XX веке).

Чистая математика является весомым доказательством знаний, приобретенных с помощью разума.

Подход Канта воплотился в интуиционизме.

Другие определения и цитаты, раскрывающие суть математики от ее классиков:

Математика – это наука о связи величин.
— Г.Грассман
Математика открывает нам отношения, существующие между вещами, с точки зрения прорядка, числа и протяженности.
— А.Рей
В природе математики не заложено необходимости исследования идеи числа и величин.
— Дж. Буль
Суть математики – в ее свободе, в том, что математик по своей воле конструирует понятия и аксиомы.
— Георг Кантор
Если кто-либо хочет коротким и выразительным словом определить саму суть математики, тот должен сказать, что это наука о бесконечности.
— Анри Пуанкаре
Любая попытка дать сколько-нибудь полное и исчерпывающее определение математики обречена, по нашему мнению, на неудачу.
— М.Кац и С.Улам

Как обоснование того, что невозможно дать окончательное определение математики на все времена, высказывается довод, что любое определение математики заключает ее в какие-то границы, а математика может обобщить и изменить любую схему, поэтому такое определение обречено быть некорректным.

В советских энциклопедиях обычно приводится определение математики, данное классиком марксизма Фридрихом Энгельсом:

Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира

Это определение также не может быть окончательным, так как математика может изучать отношения, не являющиеся ни пространственными, ни количественными. По мнению А. Н. Колмогорова, определение Энгельса нуждается лишь в такой модернизации:

Математика — это наука о количественных отношениях и пространственно-подобных формах во всей их общности.

Во многих из определений математики, речь идет только «чистой» математике, в то же время сейчас считается, что математика включает как чистую и прикладную части, так и метаматематику (совокупность формализуемых представлений о математике).

Прикладной математикой согласно одному из подходов, можно считать совокупность теорий о системах объективной действительности и мышления, полученных интерпретацией теорий чистой математики.

Метаматематика — теория, изучающая синтаксические (формальные), семантические (содержательные) и логические свойства теорий чистой математики, то есть метаматематика занимается непротиворечивостью математических теорий и математики в целом, их полнотой, независимостью систем аксиом.

В. Н. Третьяков в своей дипломной работе «О философских проблемах математики» (Минск, 1978 г.) попытался подытожить определения классиков так:

Математика — это наука, занимающаяся построением теорий о количественных отношениях и пространственно-подобных формах во всей их общности, разрабатывающая интерпретации этих теорий на объекты действительности и проверяющая их состоятельность с точки зрения формы и содержания.

[править] Проблема обоснования математики

С появлением все новых и более абстрактных математических теорий с XIX века появился вопрос об их обосновании. Довольно очевидно, что проверить опытным путем такие теории нельзя. Поэтому обоснование математических теорий стало пониматься как получение доказательства их непротиворечивости и полноты. От работ Георга Кантора идет перевод оснований математики на язык теории множеств. Однако теория множеств столкнулась с некоторыми логическими парадоксами, что привело к необходимости пересмотра логических оснований математики.

Другим подходом к обоснованию математики стала попытка сведения математики к логике (работы Бертрана Рассела, Уайтхеда, Фреге). Появившееся в результате течение под названием «логицизм» ограничивало идеализацию и запрещал вводить такие объекты, приводящих к парадоксам в теории множеств.

Давид Гильберт предложил программу доказательства непротиворечивости математики под названием «формализм». В рамках данного подхода предполагалось последовательно формализовать все содержательные математические теории и свести обоснование теорий к доказательству непротиворечивости формы. Однако теоремы Гёделя показали, что на этом пути получить формальное доказательство непротиворечивости математики невозможно (так называемыми «финитными методами»). Тем не менее, позднее появились нефинитные доказательства непротиворечивости математики.

Еще один подход к обоснованию математики под названием «интуиционизм», восходящий к Брауэру, Вейлю и др., вводит критерий интуитивной ясности для оценки математических суждений. В рамках этого подхода также предлагается ограничивать идеализацию, например, предлагалось исключать из рассмотрения актуально бесконечные множества.

В 1945 году С. К. Клини предложил новый вариант интуиционистского понимания арифметических суждений, основанный на развитой в 1930-е годы теории алгоритмов и получивший известность под именем рекурсивной реализуемости. Дальнейшая разработка данного подхода и связанных с ним идей в научной школе А. А. Маркова привела к возникновению современной конструктивной математики.

Проблема обоснования математики остаётся открытой вплоть до настоящего времени. Существует скептический подход к возможности ее окончательного разрешения.

[править] См. также

[править] Источники

  1. Декарт Р. Правила для руководства ума. М.-Л.: Соцэкгиз, 1936.

[править] Литература

  • Математическая энциклопедия — М., 1982.
  • Дементьев А. Г. Современные философские проблемы математических, естественных и технических наук. — Архангельск, 2007.
  • Клини С., Весли Р. Е. Основания интуиционистской математики с точки зрения теории рекурсивных функций / Пер. с англ. — М., Наука, 1978.
  • Третьяков В. Н. О философских проблемах математики — Минск, 1978.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты