Сумма комплексных чисел

Формула

Сумма комплексных чисел — результат операции сложения, примененной к паре комплексных чисел.

Геометрически представляет собой комплексное число (вектор на плоскости) с координатами, равными сумме координат чисел-слагаемых, и направлением вектора, совпадающим с направлением главной (исходящей из начала координат) диагонали параллелограмма построенного на векторах этих чисел.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — действительная часть (абсцисса) первого числа;

y₁ — мнимая часть (ордината) первого числа;

x₂ — действительная часть (абсцисса) второго числа;

y₂ — мнимая часть (ордината) второго числа;

r₁ — модуль первого числа;

φ₁ — аргумент первого числа;

r₂ — модуль второго числа;

φ₂ — аргумент второго числа;

x₁ + iy₁ — первое комплексное число;

x₂ + iy₂ — второе комплексное число.

Формула

$(x_{1}+iy_{1})+(x_{2}+iy_{2})=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})\Leftrightarrow$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \Leftrightarrow r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})+r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})=(r_{1}\cos \varphi _{1}+r_{2}\cos \varphi _{2})+i(r_{1}\sin \varphi _{1}+r_{2}\sin \varphi _{2}),}

$r_{1}={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}},\ r_{2}={\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},\ \varphi _{1}=arctg{\frac {y_{1}}{x_{1}}},\ \varphi _{2}=arctg{\frac {y_{2}}{x_{2}}}$

Геометрическая интерпретация

Если представлять комплексные числа x+iy векторами (x; y) на плоскости, то сумма комплексных чисел — это сумма соответствующих векторов.

Другие операции

1. сложение чисел;
2. вычитание чисел;
3. умножение чисел;
4. деление чисел;
5. обращение числа;
6. возведение в степень;
7. извлечение квадратного корня;
8. извлечение кубического корня;
9. извлечение корня n-ой степени;
10. логарифмирование числа;
11. возведение в комплексную степень;
12. тригонометрические функции комплексных чисел;
13. гиперболические функции комплексных чисел;
14. взятие комплексно сопряжённого числа;
    1. сложение комплексно сопряжённых чисел;
    2. вычитание комплексно сопряжённых чисел;
    3. умножение комплексно сопряжённых чисел;
    4. деление комплексно сопряжённых чисел;
    5. обращение комплексно сопряжённого числа.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, стр.3б.