Возведение в комплексную степень комплексного числа

Формула

✓ i^i. Комплексная степень / В интернете опять кто-то неправ #007 //

Возведение в комплексную степень комплексного числа — это обобщение операции возведения в степень для комплексных чисел .

Формула:

$(x_{1}+iy_{1})^{(x_{2}+iy_{2})}=e^{(x_{2}+iy_{2})Ln(x_{1}+iy_{1})}=e^{(x_{2}+iy_{2})\left[\ln {\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}+i\left(arctg{\frac {y_{1}}{x_{1}}}+2\pi n\right)\right]}$ $(n\in \mathbb {Z} )$

Так как определение опирается на логарифм комплексного числа, который является многозначной аналитической функцией, то и функция возведения в комплексную степень — многозначная.

Обозначения

x₁ — действительная часть (абсцисса) первого числа;

y₁ — мнимая часть (ордината) первого числа;

x₂ — действительная часть (абсцисса) второго числа;

y₂ — мнимая часть (ордината) второго числа;

x₁ + iy₁ — первое комплексное число — основание степени;

x₂ + iy₂ — второе комплексное число — показатель степени;

lnx — натуральный логарифм вещественного числа;

Ln(x + iy) — комплексный натуральный логарифм.

Формула

$(x_{1}+iy_{1})^{(x_{2}+iy_{2})}=e^{(x_{2}+iy_{2})Ln(x_{1}+iy_{1})}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (x_{1}+iy_{1})^{(x_{2}+iy_{2})}=e^{(x_{2}+iy_{2})\left[\ln {\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}+i\left(arctg{\frac {y_{1}}{x_{1}}}+2\pi n\right)\right]},\ n\in \mathbb {Z}$

Примеры

$x^{iy}=e^{y(-2\pi n+i\ln x)},\ x>0,y\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {Z}$

$(-x)^{iy}=e^{y\left[(-(2n+1)\pi n+i\ln x)\right]},\ x>0,y\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {Z}$

$(iy)^{x}=e^{x\left(\ln y+{\frac {4n+1}{2}}\pi i\right)},\ x\in \mathbb {R} ,y>0,\ n\in \mathbb {Z}$

$(-iy)^{x}=e^{x\left(\ln y+{\frac {4n-1}{2}}\pi i\right)},\ x\in \mathbb {R} ,y>0,\ n\in \mathbb {Z}$

$(iy_{1})^{iy_{2}}=e^{y_{2}\left(-{\frac {4n+1}{2}}\pi +i\ln y_{1}\right)},\ y_{1}>0,y_{2}\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {Z}$

$(-iy_{1})^{iy_{2}}=e^{y_{2}\left(-{\frac {4n-1}{2}}\pi +i\ln y_{1}\right)},\ y_{1}>0,y_{2}\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {Z}$

$1^{i}=e^{-2\pi n},\ n\in \mathbb {Z}$

$(-1)^{i}=e^{-(2n+1)\pi },\ n\in \mathbb {Z}$

$1^{-i}=e^{2\pi n},\ n\in \mathbb {Z}$

$(-1)^{-i}=e^{(2n+1)\pi },\ n\in \mathbb {Z}$

$i^{i}=e^{-{\frac {4n+1}{2}}\pi },\ n\in \mathbb {Z}$

$(-i)^{i}=e^{-{\frac {4n-1}{2}}\pi },\ n\in \mathbb {Z}$

$i^{-i}=e^{{\frac {4n+1}{2}}\pi },\ n\in \mathbb {Z}$

$(-i)^{-i}=e^{{\frac {4n-1}{2}}\pi },\ n\in \mathbb {Z}$

Другие операции

• сложение чисел;
• вычитание чисел;
• умножение чисел;
• деление чисел;
• обращение числа;
• возведение в степень;
• извлечение квадратного корня;
• извлечение кубического корня;
• извлечение корня n-ой степени;
• логарифмирование числа;
• возведение в комплексную степень;
• тригонометрические функции комплексных чисел;
• гиперболические функции комплексных чисел;
• взятие комплексно сопряжённого числа;
  • сложение комплексно сопряжённых чисел;
  • вычитание комплексно сопряжённых чисел;
  • умножение комплексно сопряжённых чисел;
  • деление комплексно сопряжённых чисел;
  • обращение комплексно сопряжённого числа.

Другие понятия

• число;
• формулы;
• неравенства;
• погрешность;
• предел;
• производная;
• дифференциал;
• последовательность;
• ряд;
• признак сходимости;
• интеграл;
• преобразование;
• экстремум;
• вектор;
• матрица;
• функции;
• уравнения;
• дифференциальные уравнения.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, стр.623.