Ряд (математика)

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Числовые ряды. Основные понятия // bezbotvy [3:21]
Числовые ряды-1. Основные понятия [34:09]

Ряд — это бесконечная последовательность слагаемых или бесконечная сумма членов последовательности.

Содержание

[править] Формула

[math]S=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n+a_{n+1}+\ldots \Leftrightarrow S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/math]

Слагаемые ряда an называются членами ряда.

Знакопеременными называются ряды, члены которых поочерёдно имеют то положительный, то отрицательный знаки. Общий вид знакопеременного ряда задаётся следующей формулой:

[math]S=b_1-b_2+\ldots+(-1)^{n-1}b_n+\ldots \Leftrightarrow S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n[/math]

Если члены ряда - числа, то ряд называется числовым, если же они являются функциями, то ряд называется функциональным.

Сумма первых n членов называется частичной суммой Sn.

[math]S_n=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n \Leftrightarrow S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i[/math]
[math]\lim_{n \to \infty}S_n=S[/math]

Сходимость ряда

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм – этот предел называется суммой ряда; в противном случае ряд называется расходящимся.

[править] Признаки сходимости:

Необходимый признак используется для определения расходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/math].

Признак сравнения используется или для определения сходимости меньшего (доминируемого) ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/math] или для определения расходимости большего (доминирующего) ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n[/math].

Признак Даламбера используется для определения сходимости или расходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/math] при условии [math]\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\ne 1[/math].

Радикальный признак Коши используется для определения сходимости или расходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/math] при условии [math]\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}\ne 1[/math].

Интегральный признак Коши используется для определения сходимости или расходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/math] при условии существования интегрируемой функции [math]f(n)=a_n[/math].

Признак Раабе используется для определения сходимости или расходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/math].

Признак Лейбница используется для определения сходимости знакопеременного ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n[/math].

[править] Виды функциональных рядов:

[править] Другие понятия:

[править] Литература

  • Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики — М.: «Наука», 1975.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты