VIDEO
Формула Тейлора / ряд Маклорена / разложение ln(1+x) в ряд Маклорена
Ряд Маклорена — это степенной ряд , в котором слагаемыми служат действительная функция f(x) в точке 0 и её производные всех порядков в точке 0 , делённые на факториал соответствующий порядку производной и умноженные на x в соответствующей степени.
f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
1
!
x
+
f
″
(
0
)
2
!
x
2
+
f
‴
(
0
)
3
!
x
3
+
…
+
f
(
n
)
(
0
)
n
!
x
n
+
…
{\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f'''(0)}{3!}}x^{3}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}+\ldots }
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
0
)
n
!
x
n
{\displaystyle f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}
Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора при a = 0 .
Разложение «элементарных» функций в ряд Маклорена:
e
x
=
1
+
x
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
…
+
x
n
n
!
+
…
,
∀
x
∈
(
−
∞
;
+
∞
)
{\displaystyle e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\ldots ,\ \forall x\in (-\infty ;+\infty )}
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
…
+
(
−
1
)
n
+
1
x
n
n
+
…
,
∀
x
∈
(
−
1
;
1
]
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots +(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}+\ldots ,\ \forall x\in (-1;1]}
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
…
+
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
+
…
,
∀
x
∈
(
−
∞
;
+
∞
)
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}+\ldots ,\ \forall x\in (-\infty ;+\infty )}
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
…
+
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
+
…
,
∀
x
∈
(
−
∞
;
+
∞
)
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\ldots ,\ \forall x\in (-\infty ;+\infty )}
arcsin
x
=
x
+
x
3
2
!
!
⋅
3
+
3
!
!
x
5
4
!
!
⋅
5
+
5
!
!
x
7
6
!
!
⋅
7
+
…
+
(
2
n
−
1
)
!
!
x
2
n
+
1
(
2
n
)
!
!
(
2
n
+
1
)
+
…
,
∀
x
∈
(
−
1
;
1
)
{\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{2!!\cdot 3}}+{\frac {3!!x^{5}}{4!!\cdot 5}}+{\frac {5!!x^{7}}{6!!\cdot 7}}+\ldots +{\frac {(2n-1)!!x^{2n+1}}{(2n)!!(2n+1)}}+\ldots ,\ \forall x\in (-1;1)}
a
r
c
t
g
x
=
x
−
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+
…
+
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
2
n
+
1
+
…
,
∀
x
∈
(
−
1
;
1
)
{\displaystyle arctgx=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}+\ldots ,\ \forall x\in (-1;1)}
s
h
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
…
+
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
+
…
,
∀
x
∈
(
−
∞
;
+
∞
)
{\displaystyle shx=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots +{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}+\ldots ,\ \forall x\in (-\infty ;+\infty )}
c
h
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
…
+
x
2
n
(
2
n
)
!
+
…
,
∀
x
∈
(
−
∞
;
+
∞
)
{\displaystyle chx=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots +{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\ldots ,\ \forall x\in (-\infty ;+\infty )}
a
r
s
h
x
=
x
−
x
3
2
!
!
⋅
3
+
3
!
!
x
5
4
!
!
⋅
5
−
5
!
!
x
7
6
!
!
⋅
7
+
…
+
(
−
1
)
n
(
2
n
−
1
)
!
!
x
2
n
+
1
(
2
n
)
!
!
(
2
n
+
1
)
+
…
,
∀
x
∈
(
−
1
;
1
)
{\displaystyle arshx=x-{\frac {x^{3}}{2!!\cdot 3}}+{\frac {3!!x^{5}}{4!!\cdot 5}}-{\frac {5!!x^{7}}{6!!\cdot 7}}+\ldots +(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!x^{2n+1}}{(2n)!!(2n+1)}}+\ldots ,\ \forall x\in (-1;1)}
a
r
c
t
h
x
=
x
+
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
…
+
x
2
n
+
1
2
n
+
1
+
…
,
∀
x
∈
(
−
1
;
1
)
{\displaystyle arcthx=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots +{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}+\ldots ,\ \forall x\in (-1;1)}
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.