Ряд Маклорена

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Формула Тейлора / ряд Маклорена / разложение ln(1+x) в ряд Маклорена

Ряд Маклорена — это степенной ряд, в котором слагаемыми служат действительная функция f(x) в точке 0 и её производные всех порядков в точке 0, делённые на факториал соответствующий порядку производной и умноженные на x в соответствующей степени.

Содержание

[править] Формула

[math]f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\ldots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\ldots[/math]
[math]f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n[/math]

[править] Примеры

Разложение «элементарных» функций в ряд Маклорена:

[math]e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+\ldots, \ \forall x \in (-\infty;+\infty)[/math]
[math]\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots+(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}+\ldots, \ \forall x \in (-1;1][/math]
[math]\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\ldots, \ \forall x \in (-\infty;+\infty)[/math]
[math]\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\ldots, \ \forall x \in (-\infty;+\infty)[/math]
[math]\arcsin x=x+\frac{x^3}{2!!\cdot 3}+\frac{3!!x^5}{4!!\cdot 5}+\frac{5!!x^7}{6!!\cdot 7}+\ldots+\frac{(2n-1)!!x^{2n+1}}{(2n)!!(2n+1)}+\ldots, \ \forall x \in (-1;1)[/math]
[math]arctg x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\ldots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\ldots, \ \forall x \in (-1;1)[/math]
[math]sh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\ldots, \ \forall x \in (-\infty;+\infty)[/math]
[math]ch x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\ldots, \ \forall x \in (-\infty;+\infty)[/math]
[math]arsh x=x-\frac{x^3}{2!!\cdot 3}+\frac{3!!x^5}{4!!\cdot 5}-\frac{5!!x^7}{6!!\cdot 7}+\ldots+(-1)^n\frac{(2n-1)!!x^{2n+1}}{(2n)!!(2n+1)}+\ldots, \ \forall x \in (-1;1)[/math]
[math]arcth x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\ldots+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\ldots, \ \forall x \in (-1;1)[/math]

[править] Другие ряды:

[править] Литература

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты