Комплексный ряд Фурье

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Преобразования #8: ряды Фурье, комплексная форма ряда Фурье // Самообразование [11:11]

Ряд Фурье комплексный — это ряд Фурье в комплексной форме (являющийся разложением функции f(x) на интервале [−l; l]), в котором слагаемыми служат комплексные функции cneiπnx/l, а коэффициенты cn — это комплексные числа.

Содержание

[править] Формулы

Разложение функции f(x) на интервале [−l; l]:

[math]f(x)=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^\frac{i\pi nx}{l}[/math], где [math]c_n=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^lf(x)e^{-\frac{i\pi nx}{l}}dx[/math]

Разложение функции f(x) на интервале [−π; π]:

[math]f(x)=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx}[/math], где [math]c_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}dx[/math]

[править] Пример

Разложение функции f(x) = ex на интервале [−π; π].

Сначала определяем коэффициенты:

[math]f(x)=e^x \Rightarrow c_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^xe^{-inx}dx = \frac{1}{\pi(1-in)}\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{(1-in)x}d(1-inx)=[/math]
[math]=\left.\frac{1}{\pi(1-in)}e^{(1-in)x}\right|_{-\pi}^{\pi}=\frac{e^{(1-in)\pi}-e^{-(1-in)\pi}}{\pi(1-in)}=\frac{e^{\pi}e^{-in\pi}-e^{-\pi}e^{in\pi}}{\pi(1-in)}=\frac{(-1)^n\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right)}{\pi(1-in)}[/math]

Окончательно, получаем разложение Фурье в комплексной форме:

[math]e^x=\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{2\pi}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^ne^{inx}}{1-in} \Leftrightarrow e^x=\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{2\pi}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^ne^{inx}(1+in)}{1+n^2}[/math]

[править] Другие ряды

[править] См. также

[править] Литература

  • Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты