Интеграл Фурье

Преобразование Фурье [7:31]

Интеграл Фурье — это представление непериодической функции f(x) в виде интеграла, равного непрерывной сумме гармоник, зависящих от частоты ω на интервале [0; ∞).

При этом говорят, что непериодическая функция f(x) имеет непрерывный спектр; частоты образующих её гармоник изменяются непрерывно. Функции A(ω) и B(ω) дают закон распределения амплитуд (и начальных фаз) в зависимости от частоты ω.

Формулы

Представление функции f(x) на интервале (−∞; ∞):

${\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }d\omega \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \omega (t-x)dt\Leftrightarrow$

$f(x)=\int \limits _{0}^{\infty }\left[A(\omega )\cos \omega x+B(\omega )\sin \omega x\right]d\omega$, где

$A(\omega )={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \omega tdt,\ B(\omega )={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \omega tdt$

Представление чётной функции f_чёт(x) на интервале (−∞; ∞):

$f_{\text{чёт}}(x)={\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\cos \omega xd\omega \int \limits _{0}^{\infty }f_{\text{чёт}}(t)\cos \omega tdt\Leftrightarrow$

$f_{\text{чёт}}(x)=\int \limits _{0}^{\infty }A(\omega )\cos \omega xd\omega$, где $A(\omega )={\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }f_{\text{чёт}}(t)\cos \omega tdt$

Представление нечётной функции f_нечёт(x) на интервале (−∞; ∞):

$f_{\text{нечёт}}(x)={\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\sin \omega xd\omega \int \limits _{0}^{\infty }f_{\text{нечёт}}(t)\sin \omega tdt\Leftrightarrow$

$f_{\text{нечёт}}(x)=\int \limits _{0}^{\infty }B(\omega )\sin \omega xd\omega$, где $B(\omega )={\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }f_{\text{нечёт}}(t)\sin \omega tdt$

Представление функции f(x) интегралом с косинусами на интервале [0; ∞):

$f(x)={\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\cos \omega xd\omega \int \limits _{0}^{\infty }f(t)\cos \omega tdt\Leftrightarrow$

$f(x)=\int \limits _{0}^{\infty }A(\omega )\cos \omega xd\omega$, где $A(\omega )={\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\cos \omega tdt$

Представление функции f(x) интегралом с синусами на интервале [0; ∞):

$f(x)={\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\sin \omega xd\omega \int \limits _{0}^{\infty }f(t)\sin \omega tdt\Leftrightarrow$

$f(x)=\int \limits _{0}^{\infty }B(\omega )\sin \omega xd\omega$, где $B(\omega )={\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\sin \omega tdt$

Другие интегралы:

• интеграл;
• интегралы элементарных функций;
• интегралы дробно-рациональных функций;
• интегралы функций с корнями;
• интегралы тригонометрических функций;
• интегралы обратных тригонометрических функций;
• интегралы гиперболических функций;
• интегралы обратных гиперболических функций;
• интеграл Фурье;
• интеграл Фурье комплексный;
• эллиптические интегралы;
• интегралы, определяемые методом замены переменных;
• интегралы, определяемые по интегральным равенствам;
• интегралы, определяемые по интегральным формулам;
• интеграл Эйлера-Пуассона.

Литература

• Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973.