Интеграл Эйлера-Пуассона

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Полезные мелочи / гауссовы интегралы / 1 / интеграл Эйлера - Пуассона [4:40]

Интеграл Эйлера-Пуассона — определенный интеграл вида:

[math]\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}[/math]

Содержание

[править] Вывод формулы

ИНТ602.JPG

[править] Следствие

[math]\int\limits_0^{+ \infty}e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \Rightarrow \int\limits_{- \infty}^{+ \infty}e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}[/math]

[править] Дополнение

Для фиксированного x имеем:

[math]\int\limits_0^x e^{-t^2}dt = \int\limits_0^x \left[\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{2n}}{n!}\right]dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{n!(2n+1)}[/math]

При x = 1 получаем:

[math]\int\limits_0^1 e^{-x^2}dx = 1 - \frac{1}{3}+\frac{1}{10}-\frac{1}{42}+\frac{1}{216}-\frac{1}{1320}+\frac{1}{9360}-\frac{1}{75600}+\ldots[/math]
[math]\int\limits_0^1 e^{-x^2}dx ≈ 0,7468[/math]

[править] Другие интегралы

[править] Литература

  • Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики — М.: «Наука», 1975.

[править] Ссылки

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты