Рациональная тригонометрия

Рациональная тригонометрия — это переформулировка планиметрии и стереометрии (которая также включает в себя тригонометрию), предложенная Норманом Дж. Вайлдбергер (Norman J. Wildberger), ассоциированным профессором в Университета Нового Южного Уэльса(UNSW), описанная в его книге «Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry», опубликованная в 2005 году. По мнению журнала New Scientist, мотивацией автора использовать альтернативу классической тригонометрии, было избежать некоторых сложностей, которые появляются при использовании бесконечных рядов, используемых в математике. Рациональная геометрия помогает избежать использования трансцендентных функций таких как синус и косинус, путем замены квадратами их значений. Вайлдбергер черпает вдохновение математиков, предшествующих теории бесконечных множеств Георга Кантора, таких как Гаусс и Евклид. Как утверждает автор, они были гораздо более осторожны в использовании бесконечных множеств, чем современные математики. На сегодняшний день, на рациональную геометрию практически никак не ссылаются в современной математической литературе. Ранние заявления автора, о том что рациональная геометрия требует меньшего количества шагов для решения стандартных задач и помогает избегать логических противоречий, связанных с классической геометрией, были предметом споров и критики, по крайней мере, со стороны еще одного математика. (см. #Значимость и критика ниже.)

Подход

Рациональная геометрия применяет подход, основанный на методах линейной алгебры, для курса элементарной геометрии(уровень средней школы). В этой теории вместо расстояния используется значение квадрата расстояния (квадранс) и угол заменяется квадратом значения синуса данного угла (разворот). (Разворот также соответствует масштабной форме скалярного произведения между линиями, принятых в качестве векторов). Три основные теоремы в тригонометрии: теорема Пифагора, теорема синусов и теорема косинусов, приведенные в рациональную (квадратную) форму, дополнены ещё двумя законами: формула утроенного квадрата (связывающая квадрансы трех коллинеарных точек) и тройная формула разворота (связывающая развороты трех пересекающихся в одной точке линий), давая пять основных законов предмета.

Рациональная геометрия по иному основана на декартовой аналитической геометрии, с точками, определенными как упорядоченные пары рациональных чисел.

$(x,y)$

и линия

$ax+by+c=0,$

как основное линейное уравнение с рациональными коэффициентами $a,b$ и $c$.

Избегая расчетов, которые требуют извлечения квадратного корня, дающих только примерное расстояние между точками, либо стандартные тригонометрические функции (и их обратные), дающие всего лишь не полное полиномиальное разложение углов (или их проекций) геометрия по сути становится алгеброй. Здесь не предполагается существование решения с вещественными числами. Следуя вышесказанному, это делает возможным применять множество теорем евклидовой геометрии в рациональной форме над любым полем.

В книге Рациональная тригонометрия показаны примеры вычисления с использованием функций рациональной тригонометрии, включая вычисления в стереометрии. Имеется доказательство того, что все Платоновы тела имеют рациональный «разворот» между их гранями.

Квадрансы

Квадранс (и расстояние как его корень квадратный) — также и измерение точек в Евклидовом пространстве. Из теоремы Пифагора, квадранс двух точек $A_{1}=(x_{1},y_{1})$ и $A_{2}=(x_{2},y_{2})$ в плоскости, следовательно определяется как сумма квадратов разностей координат $x$ и $y$:

$Q(A_{1},A_{2})=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}.\,$

В отличие от векторного сложения расстояний с сегментами, складывая квадрансы двух векторов, для получения их результирующей величины, всегда получается третья сторона треугольника который они образуют, даже в случае коллинеарных сегментов (вырожденный треугольник), где тот же расчет сделанный с расстоянием векторов становится проще. По сути, неравенство треугольника в условиях Рациональной Тригонометрии эквивалентно теореме Пифагора.

Разворот

Пусть ℓ ₁ и ℓ ₂ пересекают точку A. Пусть C основание перпендикуляра из B на ℓ ₂. Тогда разворот s = Q/R.

Разворот дает единую меру разделения двух линий как единственное безразмерное число в диапазоне $[0,1]$ (от параллельности до перпендикулярности) для евклидовой геометрии. Разворот заменяет понятие угла, но немного отличается от него, что обсуждается ниже. Разворот может иметь несколько толкований.

• Тригонометрическое (наиболее простое): это синус-отношение квадрансов в правильном треугольнике и следовательно эквивалентно квадрату синуса угла.
• Векторное: как рациональная функция направлений (практически, склонов) пары линий где они соединяются.
• Декартово: как рациональная функция трех координат, используемых для описания двух векторов.
• Линейная алгебра (от скалярного произведения) нормализованная рациональная функция: квадрат определителя двух векторов (или пара пересекающихся линий), разделенная произведением их квадрансов.

Вычисление разворота

• Тригонометрическое

Предположим две линии, ℓ ₁ и ℓ ₂, пересекаются в точке A, как показано справа. Выберем точку B ≠ A на ℓ ₁ и пусть C - основание перпендикуляра, опущенного из B на ℓ ₂. Тогда разворот s равен

$s(\ell _{1},\ell _{2})={\frac {Q(B,C)}{Q(A,B)}}={\frac {Q}{R}}.$

• Вектор/склон (от двух переменных)

Подобно углу, разворот зависит только от относительного склона двух линий (постоянные члены опускаются) и разворот с линиями пересекающихся в одной точке не меняется. Так, данные две линии, описываемые уравнениями

$a_{1}x+b_{1}y=\mathrm {constant}$ and $a_{2}x+b_{2}y=\mathrm {constant}$

мы можем переписать как две линии которые соединяются в точке $(0,0)$ уравнениями

$a_{1}x+b_{1}y=0$ и $a_{2}x+b_{2}y=0$

В этом положении точка $(-b_{1},a_{1})$ удовлетворяют первому уравнению и $(-b_{2},a_{2})$ удовлетворяет второму и три точки $(0,0),(-b_{1},a_{1})$ и $(-b_{2},a_{2})$ полученный разворот даст три квадранса:

$Q_{1}=(b_{1}^{2}+a_{1}^{2}),$

$Q_{2}=(b_{2}^{2}+a_{2}^{2}),$

$Q_{3}=(b_{1}-b_{2})^{2}+(a_{1}-a_{2})^{2}$

cross law — см ниже — в терминах разворота:

$1-s={\frac {(Q_{1}+Q_{2}-Q_{3})^{2}}{4Q_{1}Q_{2}}}.\,$

которая принимает вид:

$1-s={\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}-(b_{1}-b_{2})^{2}-(a_{1}-a_{2})^{2})^{2}}{4(a_{1}^{2}+b_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})}}\,$

Упрощая числитель, до: $(2a_{1}a_{2}+2b_{1}b_{2})^{2},$ получаем:

$1-s={\frac {(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})^{2}}{(a_{1}^{2}+b_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})}}\,$

Далее, используя важное тождество Брахмагупта: $(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})^{2}+(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})^{2}=(a_{1}^{2}+b_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}),$

стандартное выражение для разворота в терминах склонов (или направлений) двух линий ствновится:

$s={\frac {(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}}{(a_{1}^{2}+b_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})}}.\,$

• Декартово (трех переменных)

Заменяет $(-b_{1},a_{1})$ с $(x_{1},y_{1}),(-b_{2},a_{2})$ с $(x_{2},y_{2})$ и начало координат $(0,0)$ (как точка пересечения двух линий) с $(x_{3},y_{3})$ в предыдущем результате:

$s={\frac {((y_{1}-y_{3})(x_{2}-x_{3})-(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3}))^{2}}{((y_{1}-y_{3})^{2}+(x_{1}-x_{3})^{2})((y_{2}-y_{3})^{2}+(x_{2}-x_{3})^{2})}}.\,$

Разворот в сравнении с углом

Разворот двух линий может быть измерен в четырёх эквивалентных положений.

В отличие от угла, который может определить отношение между лучами исходящих из точки, по Угловая мера, и где пара линий могут быть определены четырьмя парами лучей, образуя четыре угла, 'разворот' является фундаментальной концепцией в рациональной тригонометрии, описывая две линии как единое измерение рациональной функции (см выше). Будучи эквивалентом квадрату синуса, разворот угла и его дополнительный угол равны.

Градус	Радиан	Разворот
0	0	0
30	(1/6)π	1/4
45	(1/4)π	1/2
60	(1/3)π	3/4
90	(1/2)π	1
120	(2/3)π	3/4
135	(3/4)π	1/2
150	(5/6)π	1/4
180	π	0

Разворот не пропорционален, однако, расстоянию между линий как угол; с разворотами 0, 1/4, 1/2, 3/4, и 1 соответствующих неравномерно распределенных разворотов углов 0, 30, 45, 60 и 90 градусов.

Вместо этого, (вспоминая дополнительное свойство) два равные, внешние развороты определяют третий, значение которого и будет решение тройной формулы разворота для треугольника (или трёх пересекающихся в одной точке линий) с разворотами $s,s$ и $r$:

$(2s+r)^{2}=2(2s^{2}+r^{2})+4s^{2}r$

$4s^{2}+4sr+r^{2}=4s^{2}+2r^{2}+4s^{2}r$

данный квадратный трехчлен (в $s$):

$r^{2}+4s^{2}r-4sr=0$

$r^{2}-4s(1-s)r=0$

и решения

$r=0$ (тривиально) или

$r=4s(1-s)$

Это эквивалентно тригонометрическому тождеству:

$\sin ^{2}2\theta =4\sin ^{2}\theta (1-\sin ^{2}\theta )$

углам треугольника $\theta ,\theta$ и $2\theta$, используя

$S_{2}(s)=S_{2}(\sin ^{2}\theta )=\sin ^{2}(2\theta )=r(s)$

Для обозначения второго полином разворота в $s$.

Утроенные развороты также включают треугольник (или три пересекающиеся в одной точке линии) с одним разворотом $r$ (предыдущее решение), один разворот $s$ и получая третий полином разворота, $t$ в $s$. Получаем:

$S_{3}(s)=s(3-4s)^{2}=t(s)$

Дальнейшее кратные любого простого разворота линий могут быть получены продолжением этого процесса, используя тройную формулу разворота.

Каждая кратная разворота, который является рациональной, таким образом будет рациональной, но обратное не верно. К примеру, по формуле половинного угла, две линии пересекающиеся под углом 15° (или 165°) имеют разворот:

$\sin ^{2}(30^{\circ }/2)=(1-\cos 30^{\circ })/2=(1-{\sqrt {3}}/2)/2=(2-{\sqrt {3}})/4\approx 0.0667.$

и таким образом существует по алгебраическому расширению рациональных чисел.

Полиномы разворотов

Как мы видели для двойного и тройного разворота, n-й кратная любого разворота, $s$ дает полином в этом распределении, обозначенная $S_{n}(s)$, как одно решение тройной формулы разворота.

Говоря простым языком аркфункции, эти n-ой степени полиномы разворотов, для n = 0, 1, 2, …, могут быть охарактеризованы тождеством:

$\sin ^{2}(n\theta )=S_{n}(\sin ^{2}\theta ).\,$

Тождества

Явные формулы

$S_{n}(s)=s\sum _{k=0}^{n-1}{n \over n-k}{2n-1-k \choose k}(-4s)^{n-1-k}.$ (S. Goh)

$S_{n}(s)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\left(1-2s+2{\sqrt {s^{2}-s}}\right)^{n}-{\frac {1}{4}}\left(1-2s-2{\sqrt {s^{2}-s}}\right)^{n}.$ (M. Hovdan)

$S_{n}(s)=-{\frac {1}{4}}\left(\left({\sqrt {1-s}}+i{\sqrt {s}}\right)^{2n}-1\right)^{2}\left({\sqrt {1-s}}-i{\sqrt {s}}\right)^{2n}.$ (M. Hovdan)

Из определения сразу следует

$S_{n}(s)=\sin ^{2}\left(n\arcsin \left({\sqrt {s}}\right)\right).$

Рекурсивная формула

$S_{n+1}(s)=2(1-2s)S_{n}(s)-S_{n-1}(s)+2s.\,$

Связь с полиномами Чебышева

Полиномы разворотов, связанные с Полиномами Чебышева первого рода, T_n тождеством

$1-2S_{n}(s)=T_{n}(1-2s).\,$

Это означает

$S_{n}(s)={1-T_{n}(1-2s) \over 2}=1-T_{n}\left({\sqrt {1-s}}\right)^{2}.$

Второе равенство выше следует из тождества

$2T_{n}(x)^{2}-1=T_{2n}(x)\,$

по полиномам Чебышева.

Структура

Полиномы разворотов соответствуют структуре тождества

$S_{n}(S_{m}(s))=S_{nm}(s).\,$

Коэффициенты в конечном поле

Когда коэффициенты взяты из конечного поля F_p, тогда последовательность {S_n}_{n = 0, 1, 2, …} разворотов полиномов является периодической с периодом (p² − 1)/2. Другими словами, если k = (p² − 1)/2, тогда S_{n + k} = S_n, для всех n.

Ортогональность

Когда коэффициенты берутся из поля вещественных чисел, тогда для n ≠ m, мы имеем

$\int _{0}^{1}\left(S_{n}(s)-{1 \over 2}\right)\left(S_{m}(s)-{1 \over 2}\right){ds \over {\sqrt {s(1-s)}}}=0.$

Для n = m, интеграл будет π/8 кроме n = m = 0, в этом случае π/4.

Генетрисы

Обычной генетрисой является

$\sum _{n=1}^{\infty }S_{n}(s)x^{n}={sx(1+x) \over (1-x)^{3}+4sx(1-x)}.$

Экспоненциальной генетрисой

$\sum _{n=1}^{\infty }{S_{n}(s) \over n!}x^{n}={1 \over 2}e^{x}\left[1-e^{-2sx}\cos \left(2x{\sqrt {s(1-s)}}\right)\right].$

Дифференциальное уравнение

S_n(s) соответствует линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка

$s(1-s)y''+(1/2-s)y'+n^{2}(y-1/2)=0.\,$

Теорема периодичности разворота

Для любого целого s и любого простого числа p, есть натуральное число m такое что S_n(s) делится на p нацело когда m делится на n. Это число m является делителем либо p − 1 либо p + 1. Доказательство этих свойств впервые было дано в статье Shuxiang Goh and N. J. Wildberger. Она включает в себя рассматриваемый проективный аналог Рациональной тригонометрии над конечным полем P¹(F_p).

Таблица полиномиальных разворотов, с факторизацией

Первые несколько полиномиальных разворотов:

${\begin{aligned}S_{0}(s)&=0\\[10pt]S_{1}(s)&=s\\[10pt]S_{2}(s)&=4s-4s^{2}\\&=4s(1-s)\\[10pt]S_{3}(s)&=9s-24s^{2}+16s^{3}\\&=s(3-4s)^{2}\\[10pt]S_{4}(s)&=16s-80s^{2}+128s^{3}-64s^{4}\\&=16s(1-s)(1-2s)^{2}\\[10pt]S_{5}(s)&=25s-200s^{2}+560s^{3}-640s^{4}+256s^{5}\\&=s(5-20s+16s^{2})^{2}\\[10pt]S_{6}(s)&=36s-420s^{2}+1792s^{3}-3456s^{4}+3072s^{5}-1024s^{6}\\&=4s(1-s)(1-4s)^{2}(3-4s)^{2}\\[10pt]S_{7}(s)&=49s-784s^{2}+4704s^{3}-13440s^{4}+19712s^{5}-14336s^{6}+4096s^{7}\\&=s(7-56s+112s^{2}-64s^{3})^{2}\\[10pt]S_{8}(s)&=64s-1344s^{2}+10752s^{3}-42240s^{4}+90112s^{5}-106496s^{6}\\&{}\qquad +65536s^{7}-16384s^{8}\\&=64s(s-1)(1-2s)^{2}(1-8s+8s^{2})^{2}\\[10pt]S_{9}(s)&=81s-2160s^{2}+22176s^{3}-114048s^{4}+329472s^{5}-559104s^{6}\\&{}\qquad +552960s^{7}-294912s^{8}+65536s^{9}\\&=s(-3+4s)^{2}(-3+36s-96s^{2}+64s^{3})^{2}\\[10pt]S_{10}(s)&=100s-3300s^{2}+42240s^{3}-274560s^{4}+1025024s^{5}\\{}&\qquad -2329600s^{6}+3276800s^{7}-2785280s^{8}+1310720s^{9}-262144s^{10}\\&=4s(1-s)(5-20s+16s^{2})^{2}(1-12s+16s^{2})^{2}\\[10pt]S_{11}(s)&=121s-4840s^{2}+75504s^{3}-604032s^{4}+2818816s^{5}\\{}&\qquad -8200192s^{6}+15319040s^{7}-18382848s^{8}+13697024s^{9}-5767168s^{10}+1048576s^{11}\\&=s(11-220s+1232s^{2}-2816s^{3}+2816s^{4}-1024s^{5})^{2}\end{aligned}}$

Законы рациональной тригонометрии

Вайлдбергер утверждает что существует пять основных законов в рациональной тригонометрии, которые могут быть проверены с помощью высшей математики. Некоторые эквивалентны стандартным тригонометрическим формулам с переменными как квадрансы и развороты.

В следующих пяти формулах, мы имеем треугольник, построенный на трех точках A₁, A₂, A₃, . Развороты углов в этих точках s₁, s₂, s₃, , и Q₁, Q₂, Q₃, являются квадрансами треугольника противоположных сторон A₁, A₂, и A₃, соответственно. Как и в классической тригонометрии, если нам известны три из шести элементов s₁, s₂, s₃, , Q₁, Q₂, Q₃, и они не являются тремя s, тогда мы можем вычислить остальные три.

Формула утроенного квадрата

Три точки A₁, A₂, A₃, коллинеарны тогда и только тогда:

$(Q_{1}+Q_{2}+Q_{3})^{2}=2(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}+Q_{3}^{2}).\,$

Это также может быть доказано с помощью аналитической геометрии (преимущественно посредством рациональной геометрии) или полученной формулой Герона, пользуясь условием коллинеарности, что треугольник, образованный тремя точками имеет нулевую площадь.

Proof (click at right to show/hide)

Прямая $AB\,$ имеет общую форму: $ax+by+c=0\,$ где (неуникальный) коэффициент a, b and c, могут быть выражены в терминах координат точек A и B как: $a=A_{y}-B_{y}\,$ $b=B_{x}-A_{x}\,$ $c=A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}\,$ так что, повсюду на прямой: $(A_{y}-B_{y})x+(B_{x}-A_{x})y+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})=0.\,$ Но линия также может быть определена двумя параметрическими уравнениями с параметром t, где t = 0 в точке A и t = 1 в точке B: $x=(B_{x}-A_{x})t+A_{x}{\text{ and }}y=(B_{y}-A_{y})t+A_{y}\,$ или в терминах первоначальных параметров: $x=bt+A_{x}\,$ и $y=-at+A_{y}.\,$ Если точка C коллинеарна точке A и B, существует некоторое значение t (для различных точек, не равным 0 или 1), назовем его λ, для которой эти два уравнения одновременно удовлетворяют координатах точки C, такие что: $C_{x}=b\lambda \ +A_{x}$ и $C_{y}=-a\lambda \ +A_{y}.\,$ Теперь, квадрансы трех сегментов представлены как квадрат разностей их координат, которые могут быть выражены в терминах λ: ${\begin{aligned}Q(AB)&\equiv (B_{x}-A_{x})^{2}+(B_{y}-A_{y})^{2}\\&=b^{2}+(-a)^{2}\\&=a^{2}+b^{2}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}Q(BC)&\equiv (C_{x}-B_{x})^{2}+(C_{y}-B_{y})^{2}\\&=((b\lambda \ +A_{x})-B_{x})^{2}+((-a\lambda \ +A_{y})-B_{y})^{2}\\&=(b\lambda \ +(A_{x}-B_{x}))^{2}+(-a\lambda \ +(A_{y}-B_{y}))^{2}\\&=(b\lambda \ +(-b))^{2}+(-a\lambda \ +a)^{2}\\&=b^{2}(\lambda \ -1)^{2}+a^{2}(-\lambda \ +1)^{2}\\&=b^{2}(\lambda \ -1)^{2}+a^{2}(\lambda \ -1)^{2}\\&=(a^{2}+b^{2})(\lambda \ -1)^{2}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}Q(AC)&\equiv (C_{x}-A_{x})^{2}+(C_{y}-A_{y})^{2}\\&=((b\lambda \ +A_{x})-A_{x})^{2}+((-a\lambda \ +A_{y})-A_{y})^{2}\\&=(b\lambda \ +A_{x}-A_{x})^{2}+(-a\lambda \ +A_{y}-A_{y})^{2}\\&=(b\lambda )^{2}+(-a\lambda )^{2}\\&=b^{2}\lambda ^{2}+(-a)^{2}\lambda ^{2}\\&=b^{2}\lambda ^{2}+a^{2}\lambda ^{2}\\&=(a^{2}+b^{2})\lambda ^{2}\end{aligned}}$ где использовался тот факт что $(-\lambda \ +1)^{2}=(\lambda \ -1)^{2}$. Подставляя эти квадрансы в доказываемое уравнение: $(Q(AB)+Q(BC)+Q(AC))^{2}=2(Q(AB)^{2}+Q(BC)^{2}+Q(AC)^{2})\,$ $((a^{2}+b^{2})+(a^{2}+b^{2})(\lambda \ -1)^{2}+(a^{2}+b^{2})\lambda ^{2})^{2}=2((a^{2}+b^{2})^{2}+((a^{2}+b^{2})(\lambda \ -1)^{2})^{2}+((a^{2}+b^{2})\lambda ^{2})^{2})\,$ $(a^{2}+b^{2})^{2}(1+(\lambda \ -1)^{2}+\lambda ^{2})^{2}=2(a^{2}+b^{2})^{2}(1+((\lambda \ -1)^{2})^{2}+(\lambda ^{2})^{2})\,$ Теперь, если $A\,$ и $B\,$ представляют различные точки, такие что $(a^{2}+b^{2})\,$ is not zero, мы можем разделить две стороны уравнением $Q(AB)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}\,$: $(1+\lambda ^{2}-2\lambda \ +1+\lambda ^{2})^{2}=2(1+(\lambda ^{2}-2\lambda \ +1)^{2}+\lambda ^{4})\,$ $(2\lambda ^{2}-2\lambda \ +2)^{2}=2(1+\lambda ^{4}-2\lambda ^{3}+\lambda ^{2}-2\lambda ^{3}+4\lambda ^{2}-2\lambda +\lambda ^{2}-2\lambda +1+\lambda ^{4})\,$ $4(\lambda ^{2}-\lambda \ +1)^{2}=2(2\lambda ^{4}-4\lambda ^{3}+6\lambda ^{2}-4\lambda +2)\,$ $4(\lambda ^{4}-\lambda ^{3}+\lambda ^{2}-\lambda ^{3}+\lambda ^{2}-\lambda +\lambda ^{2}-\lambda +1)=4(\lambda ^{4}-2\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}-2\lambda +1)\,$ $\lambda ^{4}-2\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}-2\lambda +1=\lambda ^{4}-2\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}-2\lambda +1\,$

Теорема Пифагора

Линии A₁A₃ (квадранса Q₁) и A₂A₃ (квадранса Q₂) перпендикулярны (их разворот равен 1) тогда и только тогда:

$Q_{1}+Q_{2}=Q_{3}.\,$

где Q₃ квадранс между A₁ и A₂.

Это эквивалентно Теореме Пифагора (обратной теореме Пифагора).

Существует много классических доказательств теоремы Пифагора, которые могут быть оформлены в терминах рациональной тригонометрии.

Разворот угла это квадрат синуса. Данный треугольник ABC с разворотом 1, между сторонами AB и AC,

$Q(AB)+Q(AC)=Q(BC)\,$

где Q «квадранс», то есть квадрат расстояния.

Proof

Иллюстрация терминологии использована в доказательстве. Построим линию AD деля разворот равный 1, с точкой D на линии BC, и делая разворот равный 1 с DB и DC. Треугольники ABC, DBA и DAC подобны (имеют равные развороты но различные квадрансы). Это приводит к двум уравнениям с отношениями, основанные на разворотах сторон треугольников: $s_{C}={\frac {Q(AB)}{Q(BC)}}={\frac {Q(BD)}{Q(AB)}}={\frac {Q(AD)}{Q(AC)}}.$ $s_{B}={\frac {Q(AC)}{Q(BC)}}={\frac {Q(DC)}{Q(AC)}}={\frac {Q(AD)}{Q(AB)}}.$ Теперь в общем, два разворота полученные из разделения разворота на две части, линией AD разворот треугольника CAB, не являются результатом сложения полученных так как разворот это нелинейная функция. Так наше первое доказательство того что поделенный разворот равный 1, приводит к тому что сложение двух разворотов не равны исходному развороту равному 1. Для удобства, и без потери общности, мы будем ориентировать линии которые пересекаются под разворотом равным 1 по координатным осям, и обозначим разделяющую линию координатами $(x_{1},y_{1})$ и $(x_{2},y_{2})$. Тогда два разворота описываются уравнениями: $s_{1}={\frac {(x_{2}-x_{2})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}={\frac {(y_{2}-y_{1})^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},$ $s_{2}={\frac {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{2})^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}={\frac {(x_{2}-x_{1})^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$ Отсюда: $s_{1}+s_{2}={\frac {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}=1.\,$ Так что: $s_{C}+s_{B}=1.\,$ Используя первые два соотношения из первого набора уравнений, получим: ${\frac {Q(AB)}{Q(BC)}}+{\frac {Q(AC)}{Q(BC)}}=1.\,$ Перемножая обе стороны квадрансом $Q(BC)$: $Q(AB)+Q(AC)=Q(BC).\,$ Что и требовалась доказать

Теорема разворотов

Для любого треугольника ${\overline {A_{1}A_{2}A_{3}}}$ с ненулевым квадрансом:

${\frac {s_{1}}{Q_{1}}}={\frac {s_{2}}{Q_{2}}}={\frac {s_{3}}{Q_{3}}}.\,$

Это теоремы синусов, только в квадрате.

Теорема квадрансов

Для любого треугольника ${\overline {A_{1}A_{2}A_{3}}}$,

$(Q_{1}+Q_{2}-Q_{3})^{2}=4Q_{1}Q_{2}(1-s_{3}).\,$

Этот аналог теоремы косинусов.

Утроенная формула разворота

Для любого треугольника ${\overline {A_{1}A_{2}A_{3}}},$

$(s_{1}+s_{2}+s_{3})^{2}=2(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2})+4s_{1}s_{2}s_{3}.\,$

Это связь может получена из формулы синуса суммы углов: в треугольнике (сумма трех углов, которого, равна 180°) мы имеем,

$\sin(a)=\sin(b+c)=\sin(b)\cos(c)+\sin(c)\cos(b)$.

Это равносильно тому, что описывает связь между разворотами трех пересекающихся линий, как разворот (подобно углу) остается неизмененным, когда стороны треугольника перемещаются параллельным переносом в общую точку пересечения.

Зная два разворота можно вычислить третий, путём решения связанных с ними квадратурной формулой, но из-за того что возможны два решения, в дальнейшем будет использовано правило разворота треугольника для выбора подходящего. (Относительная сложность этого процесса отличается от намного более простого метода получения дополнительный угол двух других.)

Тригонометрия над произвольным полем

Подобно законам рациональной тригонометрии, дают алгебраическую (но не трансцендентную) связь, в обобщении они применимы к любым полям. В частности, любое конечное поле воспроизводит форму этих законов, и таким образом возможно построение геометрии над конечным полем. 'Плоскость' образованная конечным полем $F_{p}$ является декартовым произведением $F_{p}\times F_{p}$ всех упорядоченных пар элементов поля, противоположных границами определив образованную плоскость дискретных торов. Отдельные элементы соответствуют стандартным 'точкам' тогда как 'линии' являются множеством не более чем $p$ точек связанных наклоном (изначальная точка) в положительном направление.

Пример: (проверка закона разворота в F₁₃)

Рисунок справа показывает треугольник трех таких линий в конечном поле F₁₃ × F₁₃:

Каждая линия имеет свой символ и пересечения линий (вершины) помеченные двумя символами рядом с точкой:

Треугольник, проходящий через точки (2, 8), (9, 9), и (10, 0), на плоскости надо конечным полем F₁₃ × F₁₃.

(2,8), (9,9) и (10,0).

Используя теорему Пифагора по модулю 13, мы на найдем квадрансы этих сторон:

(9 − 2)² + (9 − 8)² = 50 ≡ 11 mod 13

(9 − 10)² + (9 − 0)² = 82 ≡ 4 mod 13

(10 − 2)² + (0 − 8)² = 128 ≡ 11 mod 13

Применяя Теорему квадрансов (смотрите выше) получаем отдельные выражения для каждого разворота, в терминах трех квадрансов:

1 − (4 + 11 − 11)²/(4.4.11) = 1 − 3/7 ≡ 8 mod 13

1 − (11 + 11 − 4)²/(4.11.11) = 1 − 12/3 ≡ 10 mod 13

1 − (4 + 11 − 11)²/(4.4.11) = 1 − 3/7 ≡ 8 mod 13

В свою очередь отметим что эти отношения все равны — как для закона разворота (по крайней мере по модулю 13):

8/11 : 10/4 : 8/11

Поскольку первые и последние отношения соответствуют (делая треугольник равнобедренным) мы всего лишь перемножаем, и берем разность, чтобы показать, также, равенство с средним отношением:

(11)(10) − (8)(4) ≡ 78 (0 mod 13)

Иначе, стандартная Евклидова плоскость содержащая только рациональные точки, $\mathbb {Q} \times \mathbb {Q}$, не включает любые алгебраические числа в качестве решения. Свойства подобные наклону объекта, представляют собой решения или 'суть' теорем геометрии.

Вычисления — сложность и эффективность

Рациональная тригонометрия делает, практически все задачи, решаемыми только операциями сложения, вычитания, умножения и деления, так как тригонометрические функции (угла) не используют тригонометрические отношения в квадратной форме. По крайней мере, следовательно, результат расстояния (или угла) может быть приблизительно вычислен из точного значения рационального эквивалента квадранса(или разворота) после проделанных простых операций. Чтобы извлечь пользу из этого, однако, каждая задача должна быть дана в терминах квадрансов или разворотов, которые требуют дополнительную работу.

Законы рациональной тригонометрии, являясь алгебраическими и 'точно вычислимыми', вносят тонкости в решение задач, такие как не аддитивность квадрансов пересекющихся точек (в случае формулы утроенного квадрата) или разворота пересекающихся линий (в случае формула утроенного разворота) отсутствующей в классическом предмете, где измерения расстояния или круговое измерение угла линейны, хотя 'трансцендентная', требует приближения результата. Дополнительная сложность также введенная нуждой иметь 'правила' для обработки двух решений которые порождены квадратными соотношениями.

Значимость и критика

Рациональная тригонометрия упоминается только скромном количестве математических публикаций, не считая статей и книги Вайлдбергерга. Книга Divine Proportions была рецензирована Paul J. Campbell, написав в Математическом журнале: «автор утверждает что эта новая теория потребует менее половины времени на изучения; но я сомневаюсь в этом, и она по прежнему будет связана с традиционными концепциями и обозначениями.» Рецензент, William Barker, профессор математики в Bowdoin College, также пишущий для MAA, был более одобрителен: «Divine Proportions несомненно является ценным дополнением к математической литературе. Она аккуратно развивает мышление, ум, и полезный альтернативный подход к тригонометрии и Евклидовой геометрии. Было бы неудивительно если некоторые его методы в конечно счете просочатся в стандартное изложение этих предметов. Однако, пока нет неожиданных сдвигов во взглядах на основы математики, нет веских оснований для того чтобы заменить классическую теорию рациональной тригонометрией» Gefter из журнала New Scientist описала подход Вайлдбергерга как пример финитизма. A glowing review by Arlinghaus raises doubts as to the possibility of penetrating rigid institutional frameworks.

Анализ математиком Майколом Гилсдорфом примера тех же тригонометрических задач, использованных автором в статьях ранее, установил, что утверждение, согласно которому рациональная тригонометрия требует меньше шагов для решения основной части задач в сравнении с классическим методом, может быть неправдой, если доступен свободный выбор классических методов для оптимального решения заданной проблемы; подобно использованию формулы векторного произведения для нахождения площади из координат их вершин, либо напрямую применяя теорему Стюарта (и в отдельных случаях) к медиане треугольника.

См. также

• Финитизм
• Геометрия Лобачевского

Литература

• Wildberger’s rational trigonometry site, including downloadable papers and sections of his book
• A comparison of classical and rational trigonometry
• Rational Trigonometry Applied to Robotics, by João Pequito Almeida
• The Impossibility of Trisecting and Angle with Straightedge and Compass: An Approach Using Rational Trigonometry, by David G. Poole
• How to multiply and divide triangles, by Maurice Craig
• N J Wildberger (2005), «Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry», Wild Egg 
• Wildberger, N.J., Divine Proportions : Rational Trigonometry to Universal Geometry, Wild Egg Books, Sydney, 2005

Ссылки

• Spread polynomials, rotations and the butterfly effect
• Euler Math Toolbox implementation of Rational Trigonometry
• Youtube канал