Неравенство треугольника

Неравенство треугольника — соотношение, показывающее, что в треугольнике расстояние от точки A до непосредственно точки C всегда не выше, чем расстояние, которое можно проделать от A до C через «посредника» B.

В зависимости от дисциплины это утверждение может приниматься как за аксиому, так и за теорему.

Евклидова планиметрия

Для невырожденного 3-угольника ABC утверждение записывается как

AB + BC > AC.

В евклидовой геометрии это утверждение является теоремой. Доказательство которой будет дано ниже.

Доказательство

Одно из классических школьных доказательств использует теорему о том, что напротив большего угла лежит бо́льшая сторона.

1. Отложим на продолжении стороны AC отрезок CD = BC.
2. Тогда углы 1 и 2 будут равны, а значит, угол ABD будет больше угла 2.
3. Следовательно, AB < AD = AC + CD = AC + CB, QED.

Комплексный анализ

В комплексном поле неравенство выражается как

|a + b| ≤ |a| + |b|.

Данное равенство тоже можно доказать, используя свойства комплексных чисел.

Доказательство

Возведя в квадрат, имеем:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle (a+b){\overline {(a+b)}}\leq |a|^{2}+2|ab|+|b|^{2},}

$a{\overline {a}}+a{\overline {b}}+{\overline {a}}b+b{\overline {b}}\leq a{\overline {a}}+2|ab|+b{\overline {b}},$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 2\Re ({\overline {a}}b)\leq 2|ab|,}

$\Re ({\overline {a}}b)\leq |{\overline {a}}b|,$

что является верным утверждением, имеющим геометрический смысл: катет |Re(āb)| не больше гипотенузы |āb|.

Применение

Комплексное неравенство треугольника играет важную роль в комплексном анализе для доказательства сходимости или доказательства равенства интегралов или рядов (сумм бесконечной последовательности слагаемых). Как правило, требуется доказать, что модуль некоего выражения стремится к 0. С помощью неравенства треугольников модуль исходного выражения «зажимается» сверху суммой модулей, стремление которой к нулю доказать становится проще.

Пример

Например, требуется доказать, что комплексная натуральная экспонента:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle e^{z}=\sum _{n\to 0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}

действительно существует. Занесём в выражении

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \left|\left(\lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\right)-\sum _{n=0}^{o}{\frac {z^{n}}{n!}}\right|}

вычитаемое (которое суть частичная сумма этой последовательности) под знак предела:

$\left|\lim _{m\to \infty }\sum _{n=o+1}^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\right|.$

Так как это вычитаемое, несомненно, конечно, то такое преобразование действительно валидно. Тогда

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \left|\sum _{n=o+1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=o+1}^{\infty }\left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=o+1}^{\infty }{\frac {|z|^{n}}{n!}}.}

Можно заметить, что, начиная с некоторого значения o + 1 (а именно — превосходящего |z|), сумма становится ниже, чем ряд геометрической прогрессии:

$\sum _{n=o+1}^{\infty }{\frac {|z|^{n}}{n!}}\leq \sum _{n=o+1}^{\infty }{\frac {|z|^{n}}{o!(o+1)^{n-o}}}.$

Вычислив её по формуле ряда геометрической прогрессии, при стремлении o + 1 к бесконечности получаем нуль. Таким образом, исходный ряд на самом деле действительно сходится.

Ссылки

• https://dspace.ut.ee/bitstream/handle/10062/16418/_3.html
• https://interneturok.ru/lesson/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/neravenstvo-treugolnika