Тригонометрические формулы приведения

Формулы приведения — как их легко выучить! // Евгений Народницкий [12:23]

Тригонометрические формулы приведения — это формулы эквивалентных преобразований тригонометрических функций произвольных углов, показывающие, как преобразуются функции при добавлении аргумента, кратного π/2. Позволяют вычислить значения тригонометрических функций любого аргумента, если известны значения основных тригонометрических функций в интервале от 0 до π/2.

Формулы

sin α

$\sin(\alpha +{\frac {\pi }{2}}n)={\begin{cases}\sin \alpha ,&n=4k,\\\cos \alpha ,&n=4k+1,\\-\sin \alpha ,&n=4k+2,\\-\cos \alpha ,&n=4k+3,\end{cases}}\quad k\in \mathbb {Z}$

cos α

$\cos(\alpha +{\frac {\pi }{2}}n)={\begin{cases}\cos \alpha ,&n=4k,\\-\sin \alpha ,&n=4k+1,\\-\cos \alpha ,&n=4k+2,\\\sin \alpha ,&n=4k+3,\end{cases}}\quad k\in \mathbb {Z}$

$\cos(-\alpha +{\frac {\pi }{2}}n)={\begin{cases}\cos \alpha ,&n=4k,\\\sin \alpha ,&n=4k+1,\\-\cos \alpha ,&n=4k+2,\\-\sin \alpha ,&n=4k+3,\end{cases}}\quad k\in \mathbb {Z}$

tg α

${\text{tg}}(\alpha +{\frac {\pi }{2}}n)={\begin{cases}{\text{tg }}\alpha ,&n=2k,\\-{\text{ctg }}\alpha ,&n=2k+1,\end{cases}}\quad k\in \mathbb {Z}$

${\text{tg}}(-\alpha +{\frac {\pi }{2}}n)={\begin{cases}-{\text{tg }}\alpha ,&n=2k,\\{\text{ctg }}\alpha ,&n=2k+1,\end{cases}}\quad k\in \mathbb {Z}$

ctg α

${\text{ctg}}(\alpha +{\frac {\pi }{2}}n)={\begin{cases}{\text{ctg }}\alpha ,&n=2k,\\-{\text{tg }}\alpha ,&n=2k+1,\end{cases}}\quad k\in \mathbb {Z}$

${\text{ctg}}(-\alpha +{\frac {\pi }{2}}n)={\begin{cases}-{\text{ctg }}\alpha ,&n=2k,\\{\text{tg }}\alpha ,&n=2k+1,\end{cases}}\quad k\in \mathbb {Z}$

Классической метод

Вместо заучивания этих формул есть классический способ, состоящий из двух шагов:

1. если в исходной функции к переменной x прибавлен угол, нечётно кратный прямому углу, то исходную функцию нужно поменять на «комплементарную» (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс <…>) — в противном случае сохранить;
2. перед полученной функцией ставим тот знак (плюс/минус), какой имеет исходная функция при иксе, если x между 0 и π/2.

Шаг 1 можно упростить: если к x прибавляется угол, на тригонометрической окружности соответствующий точке снизу/сверху, то киваем головой снизу вверх, — значит, «да, меняем функцию на „комплементарную“!». В противном случае киваем слева направо.

Во втором шаге смысл условия, что икс должен быть в первой четверти, очень прост: дело в том, что конечная функция от такого икса всегда имеет неотрицательный знак. Следовательно, чтобы «откаблировать» эту функцию знаком и получить корректное приведение тригонометрической функции, нужно просто посмотреть, какой знак примет исходная функция при x от 0 до π/2. Для определения этого знака просто оцениваем четверть. И именно этот знак и ставим перед полученной функцией.

Закономерность

Есть ещё один интересный способ запомнить формулы приведения — и даже не просто запомнить, а вообще «прочувствовать», используя одну интересную стройную закономерность. Обозначим:

• единичный вектор, сонаправленный полярной оси Ox, как i;
• единичный вектор, сонаправленный оси Oy, — как j;
• радиус-вектор, повёрнутый от «полярного» вектора i на ориентированный угол +α, — как r;
• абсолютный угол между a и b — как ∠|a, b| или ∠ab;
• 2π как τ.

Для (ко)синуса

Приведём определения синуса и косинуса:

$\sin \alpha ={\frac {r_{\mathbf {j} }}{r}}=\cos \angle \mathbf {jr} =\cos {\big |}\alpha -{\frac {\tau }{4}}{\big |};$

$\cos \alpha ={\frac {r_{\mathbf {i} }}{r}}=\cos \angle \mathbf {ir} =\cos |\alpha |.$

Мы наблюдаем, что когда мы повернули единичный вектор i, на который собирались проецировать r, на +π/2, чтобы брать проекцию уже на j, то определение косинуса просто взяло и сменилось определением синуса. Если так продолжить далее, то и получатся формулы приведения:

$+\cos \alpha ={\frac {r_{+\mathbf {i} }}{r}}=\cos \angle |{+}\mathbf {i} ,\mathbf {r} |=\cos |\alpha -0\tau |;$

$+\sin \alpha ={\frac {r_{+\mathbf {j} }}{r}}=\cos \angle |{+}\mathbf {j} ,\mathbf {r} |=\cos {\Big |}\alpha -{\frac {1}{4}}\tau {\Big |};$

$-\cos \alpha ={\frac {r_{-\mathbf {i} }}{r}}=\cos \angle |{-}\mathbf {i} ,\mathbf {r} |=\cos {\Big |}\alpha -{\frac {2}{4}}\tau {\Big |};$

$-\sin \alpha ={\frac {r_{-\mathbf {j} }}{r}}=\cos \angle |{-}\mathbf {j} ,\mathbf {r} |=\cos {\Big |}\alpha -{\frac {3}{4}}\tau {\Big |};$

$+\cos \alpha ={\frac {r_{+\mathbf {i} }}{r}}=\cos \angle |{+}\mathbf {i} ,\mathbf {r} |=\cos {\Big |}\alpha -{\frac {4}{4}}\tau {\Big |};$

$+\sin \alpha ={\frac {r_{+\mathbf {j} }}{r}}=\cos \angle |{+}\mathbf {j} ,\mathbf {r} |=\cos {\Big |}\alpha -{\frac {5}{4}}\tau {\Big |};$

$\ldots$

в том числе и в обратную сторону. Получается закономерность, что повороту вектора i → j → −i → −j → i → <…> на каждые +τ/4 соответствует преобразование cos → sin → −cos → −sin → <…>.

Другие формулы

• тригонометрические функции;
• сумма тригонометрических функций;
• разность тригонометрических функций;
• произведение тригонометрических функций;
• тригонометрические функции суммы углов;
• тригонометрические функции разности углов;
• тригонометрические формулы приведения;
• тригонометрические функции кратных углов;
• тригонометрические функции половинного угла;
• тригонометрические функции угла, полученного многократным делением пи на два;
• выражение тригонометрических функций через другую;
• выражение тригонометрических функций через гиперболические;
• тригонометрические функции комплексной переменной;
• производные тригонометрических функций;
• дифференциалы тригонометрических функций;
• интегралы тригонометрических функций;
• графики тригонометрических функций.

Литература

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.182.