Тригонометрические тождества только с углами — это тригонометрические формулы для углов треугольника α, β, γ. Теорема синусов позволяет любые теоремы о треугольнике (например, косинусов, тангенсов и др.) перевести в тригонометрические формулы только с углами. Тогда возможно их чисто тригонометрическое доказательство.
Известные тригонометрические формулы для углов треугольника[править]
- Три положительных угла α, β и γ, каждый из которых меньше 180°, являются углами треугольника тогда и только тогда, когда выполняется любое одно из следующих соотношений:
- (первое тождество для тангенсов)
Замечание. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).
- [1]
(второе тождество для тангенсов)
- (первое тождество для синусов)
- [1] (второе тождество для синусов)
- [2] (тождество для косинусов)
- (тождество для отношения радиусов)
Замечание. При делении обеих частей второго тождества для тангенсов на произведение получается тождество для котангенсов:
по форме (но не по содержанию) очень похожее на первое тождество для тангенсов.
Другие формулы[править]
Недавно полученные формулы, например[3]:
и т. д. В цитированном источнике приведено 60 новых формул.
Замечание. Многие формулы для выражений типа или для выражений типа , где k=0,5; 1;2;3;4; могут быть получены
заменой переменных в формулах на с. 177 в книге[4]
Формулы для и
, где k=1;2;4; получены трехкратным использованием формул типа
,
и
. Некоторые формулы
для сумм тангенсов или котангенсов получены трехкратным использованием формул их связи друг с другом типа
- ↑ 1,0 1,1 Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, «Simple trigonometric substitutions with broad results», Mathematical Reflections no 6, 2007.
- ↑ Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.
- ↑ Стариков В. Н., «5-е исследование по геометрии», Наука и образование (Электронный журнал МГАУ) no 1, 2018// http://www.opusmgau.ru
- ↑ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. «Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов». М.: Наука, 1986. 544 с.