Теорема косинусов
Теорема косинусов — утверждение, связывающее три стороны и угол треугольника.
Для треугольника ABC она формулируетсяя следующим образом[1]:
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AB^2 + BC^2 + 2AB\cdot BC\cos\angle B = AC^2.}
Смысл[править]
Вообще говоря, стоит заметить, что, помимо теоремы в её традиционном виде, её можно «перевернуть» в «обратную теорему косинусов»[Прим. 1], которая представляет отдельный интерес в решении треугольников, поскольку позволяет найти угол по трём сторонам[1]:
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \angle B = \arccos\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2AB\cdot BC}.}
Доказательство[править]
Традиционно при доказательстве теорема разбивается на два случая: когда угол не больше 90° и когда угол между 90° и 180°, поскольку косинус меняет свой знак при «отуплении» угла.[1]
- Как объединить оба случая
Представим, что в треугольник OAB вписана ось OA с началом в точке O. Тогда точка B при проецировании на ось «отбрасывает» координату, положительную от остром угле и отрицательную при тупом (и нулевую при прямом). Для угла не больше 90° эта координата равна OB cos ∠O, что следует из определения косинуса для таких углов. Для угла между 90°—180° координата неположительна, но тоже равна OB cos ∠O, поскольку при расширении определения косинуса до развёрнутого угла начинает «просыпаться» знак проекции, знак координаты.
Тогда расстояние между проекцией точки B и точкой A составляет
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |OA - OB\cos\angle O|.}
А расстояние от B до оси равно OB sin ∠O. Тогда по теореме Пифагора
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AB^2 = |OA - OB\cos\angle O|^2 + OB^2\sin^2\angle O = OA^2 - 2OA\cdot OB\cos\angle O + OB^2(\sin^2\angle O + \cos^2\angle O) = OA^2 - 2OA\cdot OB\cos\angle O + OB^2,}
ч. т. д.
Теорема синусов[править]
Интересно, что из теоремы косинусов возможно даже вывести теорему синусов. Преобразуем косинус в синус по основному тригонометрическому тождеству, а далее по формуле разности квадратов:
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin^2\angle B = \frac{(2AB\cdot BC)^2 - (AB^2+BC^2-AC^2)^2}{4AB^2BC^2} = }
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\frac{(2AB\cdot BC - AB^2 - BC^2 + AC^2)(2AB\cdot BC + AB^2 + BC^2 - AC^2)}{4AB^2BC^2} =}
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \frac{(AC^2 - (AB - BC)^2)((AB + BC)^2 - AC^2)}{4AB^2BC^2} = 4\frac{p(p - AB)(p - BC)(p - CA)}{AB^2BC^2},}
где p — полупериметр. Тогда выражение
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(\frac{\sin\angle B}{AC}\right)^2 = 4\frac{p(p - AB)(p - BC)(p - CA)}{(AB\cdot BC\cdot CA)^2}}
оказывается инвариантом относительно смены угла ∠B и соответствующей стороны, противолежащей ей, на любой другой угол треугольника: ∠C и ∠A, — что и есть теорема синусов. С оговорочкой, что синус от 0° до 180° всегда неотрицательный (синусы смежных углов равны), то есть выражение «свободно» от того, чтобы «снять» с его вторую степень.
Примечания[править]
- ↑ термин неофициальный, «самопальный»
