Теорема синусов

Файл:Resolve triangle with b c beta.svg

Теорема синусов находит своё применение в данной задаче

Теорема синусов // Математик МГУ [11:29]

Теорема синусов — утверждение, связывающее углы треугольника с соответствующими сторонами напротив них.

Формулировка

Пусть вершины — A, B, C, а стороны напротив них — a, b, c соответственно. Тогда

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\sin A}a = \frac{\sin B}b = \frac{\sin C}c.}

Существует также расширенная теорема синусов — включающая в себя радиус R окружности, описанной около 3-угольника. Расширенная теорема гласит, что все дроби выше равны

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac1{2R}.}

Доказательство классической теоремы

Площадь

Есть любопытное доказательство, основанное на том, что формула площади S треугольника, в которой пара сторон и угол между ними, можно переписать тремя способами — по одному углу на каждый:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2S = ab\sin C = bc\sin A = ca\sin B.}

Нетрудно заметить, что, поделив эти числа на abc, мы в каждой части равенства получим дробь, связывающую сторону и угол напротив неё:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\sin A}a = \frac{\sin B}b = \frac{\sin C}c.}

Теорема косинусов

Она формулируется так:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.}

Выразив из неё синус:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin^2C = \frac{(2ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}{(2ab)^2} = \frac{(-(a - b)^2 + c^2)((a + b)^2 - c^2)}{(2ab)^2} = \frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{(2ab)^2},}

мы видим выражение, похожее на формулу Герона. Если его поделить на c², получится дробь, полностью симметрическая относительно a, b, c. Это значит, что то же выражение мы бы получили для числа sin²A/a² и для sin²B/b². Отсюда следует теорема синусов.

Доказательство расширенной теоремы

Опишем около треугольника ABC окружность. Теперь будем двигать точку, скажем, C по этой окружности. Тогда, с одной стороны, угол C по свойствам вписанных углов не будет меняться либо будет меняться разве что на смежный угол, но с другой-то стороны, мы добьёмся того, что сторона, скажем, AC будет лежать на диаметре. Тогда, опять же по свойствам вписанных углов, угол B окажется прямым. Тогда катет AB, противолежащий углу C, — это 2R sin C, а значит,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2R = \frac c{\sin C}.}

Но так как угол C при его передвижении по окружности не меняется либо сменяется смежным «двойником», то данное равенство верно и без привязки AC как диаметра, но для произвольного треугольника.