Нормальное распределение

Нормальное Распределение за 6 Минут [6:24]

Мини-лекция А.М. Райгородского про нормальное распределение. Высшая математика // Математик МГУ (3 окт. 2021 г.) [26:05]

Нормальное распределение (распределение Гаусса) — двухпараметрическое распределение непрерывной случайной величины с экспонентой e^{-(x-μ)2/(2σ2)} в функциях распределения.

Обозначения

X — случайная величина;

U — стандартизованная случайная величина;

f_X(x) — дифференциальная функция распределения — функция плотности вероятности;

F_X(x) — интегральная функция распределения — функция вероятности;

φ_U(u) — дифференциальная функция распределения стандартизованной случайной величины;

Φ_U(u) — интегральная функция распределения стандартизованной случайной величины;

M(X)=μ — средняя — математическое ожидание;

D(X) — дисперсия;

σ(X)=σ — среднеквадратическое отклонение;

Me(X) — медиана;

Mo(X) — мода;

As(X) — коэффициент асимметрии;

Ek(X) — коэффициент эксцесса.

Функции распределения

Дифференциальная функция

$f_{X}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f_{X}(x)={\frac {1}{\sigma }}\varphi _{U}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$

Графики

• При μ=0 и σ=1 нормальное распределение называется Стандартное нормальное распределение.

Интегральная функция

$F_{X}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {(t-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dt\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow F_{X}(x)={\frac {1}{\sigma }}\Phi _{U}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$

Графики

Характеристики

$M(X)=\mu$

$D(X)=\sigma ^{2}$

$\sigma (X)=\sigma$

$Me(X)=\mu$

$Mo(X)=\mu$

$As(X)=0$

$Ek(X)=0$

Вывод формул

Математическое ожидание

Дисперсия

1-й способ

2-й способ

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, стр.514.

Ссылки

временные ссылки

• Участник:Logic-samara

Другие распределения

Распределения дискретной случайной величины:

• распределение Бернулли;
• биномиальное распределение;
• геометрическое распределение;
• гипергеометрическое распределение;
• дискретное равномерное распределение;
• распределение Пуассона;

Распределения непрерывной случайной величины:

• бета-распределение;
• распределение Вейбулла;
• гамма-распределение;
• квадратичное распределение;
• распределение Коши;
• распределение Лапласа;
• линейное распределение;
• логистическое распределение;
• логнормальное распределение;
• нормальное распределение;
• распределение Парето;
• показательное распределение;
• равномерное распределение;
• распределение Рэлея;
• распределение Сосновского;
• распределение Стьюдента;
• распределение Фишера-Снедекора;
• распределение Хи-квадрат;
• экспоненциальное распределение;
• Эль-распределение.