Многоугольник

Примеры многоугольников

Многоугольник [8:15]

Многоугольники. Видеоурок по геометрии 8 класс // InternetUrok.ru [12:50]

Многоугольники // univervideo (Тарасов Валентин Алексеевич, учитель школы Логос ЛВ) [14:52]

Многоугольник — плоская геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной (многоугольник могут определять также как саму эту замкнутую ломаную).

Вершины этой ломаной называют вершинами многоугольника, а отрезки ломаной — сторонами многоугольника.

Две вершины, сочетающиеся отрезком ломаной, называются смежными вершинами. Две стороны, имеющих общую вершину называются смежными. Если две несовместимые стороны не имеют общих точек (то есть ломаная, ограничивающая многоугольник, не пересекается), многоугольник называется простым.

Виды многоугольников

Различают:

• плоские многоугольники, в которых все стороны лежат в одной плоскости.
• выпуклые многоугольники — многоугольники, удовлетворяющие одному из условий:

 — многоугольник находится по одну сторону от прямой, содержащей произвольную его сторону;

 — все внутренние углы многоугольника меньше 180°;

 — любая прямая, которая не содержит вершин и сторон многоугольника, пересекает границу многоугольника в двух точках.

• правильные многоугольники, когда они являются плоскими, выпуклыми и с равными сторонами и углами.

По количеству вершин и углов

(в некоторых случаях разные углы могут иметь одну вершину)

1. не существует
2. не существует
3. треугольник (изредка, тригон)
4. четырёхугольник (изредка, тетрагон)
5. пятиугольник (устаревшее, пентагон)
6. шестиугольник (гексагон)
7. семиугольник (гептагон)
8. восьмиугольник (октагон)
9. девятиугольник (эннеагон)
10. десятиугольник (декагон)
11. одиннадцатиугольник (гендекагон)
12. двенадцатиугольник (додекагон)
13. тринадцатиугольник (тридекагон)
14. четырнадцатиугольник (тетрадекагон)
15. пятнадцатиугольник (пентадекагон)
16. шестнадцатиугольник (гексадекагон)
17. семнадцатиугольник (гептадекагон)
18. восемнадцатиугольник (октадекагон)
19. девятнадцатиугольник (эннеадекагон)
20. двадцатиугольник (икосагон)

…

Свойства

• Любой простой плоский многоугольник делит плоскость, в которой он находится, на две части — внутреннюю и внешнюю. Если произвольный луч, не содержащий вершин многоугольника, пересекает границу многоугольника в нечетном количестве точек, то точка, являющаяся началом луча, относится к внутренней области, если в парной — внешней области.
• Сумма внутренних углов многоугольника равна (n − 2)π радиан или (n − 2)180°.
• Площадь произвольного простого многоугольника с вершинами, заданными в декартовой системе координат, может быть определена по формуле:

$A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\,$

• Если известны стороны многоугольника a₁,a₂, …, a_n и внешние углы, $\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n}$, то площадь многоугольника может быть вычислена по формуле:

${\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})])\end{aligned}}$

См. также

• Площадь многоугольника