Проекция точки на плоскость

Проекция точки на плоскость — это точка пересечения перпендикуляра из точки на плоскость и плоскости.

Обозначения

${\bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ — радиус-вектор проекции точки;

${\bar {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ — радиус-вектор точки;

${\bar {n}}_{1}=(A_{1},B_{1},C_{1})$ — нормаль к плоскости;

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ — уравнение плоскости;

$p_{01}$ — отклонение точки от плоскости.

Проекции

Векторная форма

${\overline {r}}_{1}={\overline {r}}_{0}-{\frac {\left({\overline {r}}_{0}\cdot {\overline {n}}_{1}\right)+D_{1}}{\left({\overline {n}}_{1}\cdot {\overline {n}}_{1}\right)}}{\overline {n}}_{1}\Leftrightarrow {\overline {r}}_{1}={\overline {r}}_{0}-{\frac {p_{01}}{\left|{\overline {n}}_{1}\right|}}{\overline {n}}_{1},$ где $p_{01}={\frac {\left({\overline {r}}_{0}\cdot {\overline {n}}_{1}\right)+D_{1}}{\left|{\overline {n}}_{1}\right|}}$

Координатная форма

• Заметим, что формулы проекции точки на плоскость аналогичны формулам основания перпендикуляра из точки к плоскости.

Пример

Даны точка и плоскость: $(-4;3;5)$ и $-x+2y-2z+9=0$.

Найти проекцию точки на плоскость.

Решение.

Другие проекции:

1. проекция вектора на вектор;
2. проекция точки на прямую;
3. проекция точки на плоскость;
4. проекция прямой на плоскость.

Другие точки:

1. проекция точки на прямую;
2. проекция точки на плоскость;
3. основание перпендикуляра из точки к прямой;
4. основание перпендикуляра из точки к плоскости;
5. точка пересечения перпендикуляра к двум прямым с первой прямой;
6. точка пересечения перпендикуляра к двум прямым со второй прямой;
7. точка пересечения прямой и плоскости;
8. точка пересечения трёх плоскостей;
9. точка, равноудалённая от двух прямых;
10. точка, равноудалённая от четырёх точек;
11. точка деления отрезка в данном отношении;
12. точка прямой, находящаяся от первой точки прямой до второй в данном отношении;
13. точка прямой, находящаяся перед первой точкой прямой до второй в данном отношении;
14. точка прямой, находящаяся от первой точки прямой за второй в данном отношении.

Ссылки

• Участник:Logic-samara