Длина дуги плоской кривой

Лекция 7: Вычисление длины кривой. Дифференциал длины дуги кривой // НОУ ИНТУИТ [38:31]

Длина дуги плоской кривой — это числовая характеристика протяжённости дуги кривой на плоскости в единицах измерения длины.

Формулы

Прямоугольная система координат

Длина дуги плоской кривой, заданной уравнением y = y(x) или x = x(y), считается по формуле:

[math]L_{\text{дуги}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[y'_x(x)\right]^2}dx \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[\frac{dy(x)}{dx}\right]^2}dx \Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[x'_y(y)\right]^2}dy \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[\frac{dx(y)}{dy}\right]^2}dy [/math]

Полярная система координат

Длина дуги плоской кривой, заданной уравнением r=r(φ), считается по формуле:

[math]L_{\text{дуги}}=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2(\varphi)+\left[r'_{\varphi}(\varphi)\right]^2}d\varphi \Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2(\varphi)+\left[\frac{dr(\varphi)}{d\varphi}\right]^2}d\varphi[/math]

Параметрически заданная кривая

Длина дуги плоской кривой, заданной (параметрически) уравнениями x=x(t), y=y(t), считается по формуле:

[math]L_{\text{дуги}}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[x'_t(t)\right]^2+\left[y'_t(t)\right]^2}dt \Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[\frac{dx(t)}{dt}\right]^2+\left[\frac{dy(t)}{dt}\right]^2}dt[/math]

См. также

• Площадь плоской фигуры

Примеры плоских кривых

• окружность;
• парабола;
• эллипс;
• гипербола;
• синусоида;
• косинусоида;
• циклоида;
• кардиоида;
• астроида;
• эпициклоида;
• гипоциклоида;
• эвольвента;
• цепная линия;
• трактриса;
• лемниската Бернулли.

Другие формулы

• Длина дуги плоской кривой;
• Длина дуги трёхмерной кривой.

Виды формул

• неравенства;
• операции;
• расстояния;
• длины;
• площади;
• объёмы;
• проекции;
• точки;
• уравнения;
• системы уравнений;
• углы;
• дифференциальные уравнения;
• системы дифференциальных уравнений.

Литература

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — М., 1956, стр.394.