Длина дуги плоской кривой

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
ДПК01.JPG
Лекция 7: Вычисление длины кривой. Дифференциал длины дуги кривой // НОУ ИНТУИТ [38:31]

Длина дуги плоской кривой — это числовая характеристика протяжённости дуги кривой на плоскости в единицах измерения длины.

Содержание

[править] Формулы

[править] Прямоугольная система координат

Длина дуги плоской кривой, заданной уравнением y = y(x) или x = x(y), считается по формуле:

[math]L_{\text{дуги}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[y'_x(x)\right]^2}dx \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[\frac{dy(x)}{dx}\right]^2}dx \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[x'_y(y)\right]^2}dy \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[\frac{dx(y)}{dy}\right]^2}dy [/math]

[править] Полярная система координат

Длина дуги плоской кривой, заданной уравнением r=r(φ), считается по формуле:

[math]L_{\text{дуги}}=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2(\varphi)+\left[r'_{\varphi}(\varphi)\right]^2}d\varphi \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2(\varphi)+\left[\frac{dr(\varphi)}{d\varphi}\right]^2}d\varphi[/math]

[править] Параметрически заданная кривая

Длина дуги плоской кривой, заданной (параметрически) уравнениями x=x(t), y=y(t), считается по формуле:

[math]L_{\text{дуги}}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[x'_t(t)\right]^2+\left[y'_t(t)\right]^2}dt \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[\frac{dx(t)}{dt}\right]^2+\left[\frac{dy(t)}{dt}\right]^2}dt[/math]

[править] См. также

[править] Примеры плоских кривых

[править] Другие формулы

[править] Виды формул

[править] Литература

  • Бронштейн М. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — М., 1956, стр.394.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты