Длина дуги синусоиды

Синусоида

Формула

Длина дуги синусоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги синусоиды в единицах измерения длины.

Обозначения

x₁ — первая точка дуги;

x₂ — вторая точка дуги;

y = sinx — уравнение синусоиды;

E(k, t) — эллиптический интеграл II рода;

L_sin — длина дуги синусоиды.

Формула

$L_{\sin }={\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},x_{2}\right)-{\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},x_{1}\right),$ $0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant {\frac {\pi }{2}}$

Длина полной (от 0 до π) арки синусоиды равна:

$L_{{\text{арк.}}\sin }=2{\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$.

Вывод формулы

$L_{\sin }=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left(y'_{x}\right)^{2}}}dx=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left[(\sin x)'_{x}\right]^{2}}}dx=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\cos ^{2}x}}dx=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2-\sin ^{2}x}}dx=$

$={\sqrt {2}}\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}x}}dx=\left.{\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},x\right)\right|_{x_{1}}^{x_{2}}={\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},x_{2}\right)-{\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},x_{1}\right)\Rightarrow$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle L_{\sin }={\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},x_{2}\right)-{\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},x_{1}\right)}

• Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в прямоугольной системе координат.
• Для нахождения интеграла используется эллиптический интеграл II рода.

См. также

• Площадь арки синусоиды

Другие формулы

1. плоская кривая;
2. окружность;
3. парабола;
4. эллипс;
5. гипербола;
6. синусоида;
7. косинусоида;
8. циклоида;
9. кардиоида;
10. астроида;
11. эпициклоида;
12. гипоциклоида;
13. эвольвента;
14. цепная линия;
15. трактриса;
16. лемниската Бернулли.

Литература

• Храбров А. И. Немного об эллиптических интегралах