Длина дуги синусоиды

Синусоида

Формула

Длина дуги синусоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги синусоиды в единицах измерения длины.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — первая точка дуги;

x₂ — вторая точка дуги;

y = sinx — уравнение синусоиды;

E(k, t) — эллиптический интеграл II рода;

L_sin — длина дуги синусоиды.

Формула

[math]L_{\sin}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2 \right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right),[/math] [math]0 \leqslant x_1 \leqslant x_2 \leqslant \frac{\pi}{2}[/math]

Длина полной (от 0 до π) арки синусоиды равна:

[math]L_{\text{арк.}\sin}=2\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/math].

Вывод формулы

[math]L_{\sin}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left(y'_x\right)^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[(\sin x)'_x\right]^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\cos^2x}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{2-\sin^2x}dx=[/math]

[math]=\sqrt{2}\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2x}dx=\left.\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x\right)\right|_{x_1}^{x_2}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2\right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right) \Rightarrow[/math]

[math]L_{\sin}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2\right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right)[/math]

• Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в прямоугольной системе координат.
• Для нахождения интеграла используется эллиптический интеграл II рода.

См. также

• Площадь арки синусоиды

Другие формулы

• длина дуги плоской кривой;
• длина дуги окружности;
• длина дуги параболы;
• длина дуги эллипса;
• длина дуги гиперболы;
• длина дуги синусоиды;
• длина дуги косинусоиды;
• длина дуги циклоиды;
• длина дуги кардиоиды;
• длина дуги астроиды;
• длина дуги эпициклоиды;
• длина дуги гипоциклоиды;
• длина дуги эвольвенты окружности;
• длина дуги цепной линии;
• длина дуги трактрисы;
• длина дуги лемнискаты Бернулли.

Ссылки

• Храбров А. И. Немного об эллиптических интегралах