Длина дуги синусоиды

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Синусоида
Формула

Длина дуги синусоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги синусоиды в единицах измерения длины.

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

x1 — первая точка дуги;

x2 — вторая точка дуги;

y = sinx — уравнение синусоиды;

E(k, t) — эллиптический интеграл II рода;

Lsin — длина дуги синусоиды.

[править] Формула

[math]L_{\sin}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2 \right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right),[/math] [math]0 \leqslant x_1 \leqslant x_2 \leqslant \frac{\pi}{2}[/math]

Длина полной (от 0 до π) арки синусоиды равна:

[math]L_{\text{арк.}\sin}=2\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/math].

[править] Вывод формулы

[math]L_{\sin}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left(y'_x\right)^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[(\sin x)'_x\right]^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\cos^2x}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{2-\sin^2x}dx=[/math]
[math]=\sqrt{2}\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2x}dx=\left.\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x\right)\right|_{x_1}^{x_2}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2\right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right) \Rightarrow[/math]
[math]L_{\sin}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2\right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right)[/math]

[править] См. также

[править] Другие формулы

[править] Ссылки

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты