Длина дуги эллипса

Эллипс

Длина дуги эллипса — это число, характеризующее протяжённость дуги эллипса в единицах измерения длины.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

a — большая полуось;

b — малая полуось;

x²/a² + y²/b² = 1 — каноническое уравнение эллипса;

t₁ — параметр первой точки дуги;

t₂ — параметр второй точки дуги;

t — параметрическая переменная — угол между осью ординат и радиус-вектором точки эллипса;

x = asint — параметрическое уравнение абсциссы эллипса;

y = bcost — параметрическое уравнение ординаты эллипса;

E(k, t) — эллиптический интеграл II рода;

L_{дуг.элл} — длина дуги эллипса.

L_{\text{дуг.элл}}=aE\left(\varepsilon ,t_{2}\right)-aE\left(\varepsilon ,t_{1}\right),\ \varepsilon ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}},\ 0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq {\frac {\pi }{2}}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow L_{\text{дуг.элл}}=aE\left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}},t_{2}\right)-aE\left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}},t_{1}\right),\ 0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq {\frac {\pi }{2}}

L_{\text{дуг.элл.}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {(x'_{t})^{2}+(y'_{t})^{2}}}dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left[(a\sin t)'_{t}\right]^{2}+\left[(b\cos t)'_{t}\right]^{2}}}dt=

=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {(a\cos t)^{2}+(-b\sin t)^{2}}}dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}t+b^{2}\sin ^{2}t}}dt=

=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}t)+b^{2}\sin ^{2}t}}dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {a^{2}-(a^{2}-b^{2})\sin ^{2}t}}dt=

=a\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}t}}dt=\left\langle \varepsilon ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right\rangle =a\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\sin ^{2}t}}dt=

=\left.aE(\varepsilon ,t)\right|_{t_{1}}^{t_{2}}=aE(\varepsilon ,t_{2})-aE(\varepsilon ,t_{1})\Rightarrow L_{\text{дуг.элл.}}=aE(\varepsilon ,t_{2})-aE(\varepsilon ,t_{1})

Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в параметрической форме (параметр t — это угол между осью ординат и радиус-вектором точки эллипса).
Для нахождения интеграла используется эллиптический интеграл II рода.