Длина дуги лемнискаты Бернулли

Лемниската Бернулли

Длина дуги лемнискаты Бернулли — это число, характеризующее протяжённость дуги лемнискаты Бернулли в единицах измерения длины.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

F₁ — правый фокус;

F₂ — левый фокус;

c — половина расстояния между фокусами;

(x² + y²)² = 2c²(x² − y²) — уравнение лемнискаты Бернулли;

φ₁ — угол (меньший) первой точки дуги;

φ₂ — угол (больший) второй точки дуги;

φ — независимая переменная;

r² = 2c²cos2φ — уравнение лемнискаты Бернулли в полярных координатах;

t₁ — параметр первой точки дуги;

t₂ — параметр второй точки дуги;

t — вспомогательная параметричиская переменная;

F(k, t) — эллиптический интеграл I рода;

L_{дуг.лемн} — длина дуги лемнискаты Бернулли.

L_{\text{дуг.лемн}}=cF\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},\arcsin({\sqrt {2}}\sin(\varphi _{2}))\right)-cF\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},\arcsin({\sqrt {2}}\sin(\varphi _{1}))\right),\ 0\leq \varphi _{1}\leq \varphi _{2}\leq {\frac {\pi }{4}}

Периметр лемнискаты Бернулли (из двух лепестков) равен P_лемн = 4cF(√2/2, π/2).

Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в полярных координатах.
Для нахождения интеграла используется эллиптический интеграл I рода.