Длина дуги лемнискаты Бернулли

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Лемниската Бернулли

Длина дуги лемнискаты Бернулли — это число, характеризующее протяжённость дуги лемнискаты Бернулли в единицах измерения длины.

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

F1 — правый фокус;

F2 — левый фокус;

c — половина расстояния между фокусами;

(x2 + y2)2 = 2c2(x2 − y2) — уравнение лемнискаты Бернулли;

φ1 — угол (меньший) первой точки дуги;

φ2 — угол (больший) второй точки дуги;

φ — независимая переменная;

r2 = 2c2cos2φ — уравнение лемнискаты Бернулли в полярных координатах;

t1 — параметр первой точки дуги;

t2 — параметр второй точки дуги;

t — вспомогательная параметричиская переменная;

F(k, t) — эллиптический интеграл I рода;

Lдуг.лемн — длина дуги лемнискаты Бернулли.

[править] Формула

[math]L_{\text{дуг.лемн}}=cF\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\arcsin(\sqrt{2}\sin(\varphi_2))\right)-cF\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\arcsin(\sqrt{2}\sin(\varphi_1))\right), \ 0 \le \varphi_1 \le \varphi_2 \le \frac{\pi}{4}[/math]
  • Периметр лемнискаты Бернулли (из двух лепестков) равен Pлемн = 4cF(√2/2, π/2).

[править] Вывод формулы

ДЛБ11.JPG

[править] См. также

[править] Другие формулы

[править] Ссылки

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты