Длина дуги трактрисы

Трактриса

Длина дуги трактрисы — это число, характеризующее протяжённость дуги трактрисы в единицах измерения длины.

Трактриса — это линия, исходящая из вершины M₀ в обе стороны, описываемая точкой M, увлекаемой нерастяжимой нитью LM длиной R, при движении точки L по направляющей (оси абсцисс).

Рассмотрим дуги трактрисы, исходящей из точки (0,R).

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса (меньшая) первой точки;

y₁ — ордината первой точки;

t₁ — параметр (меньший) первой точки;

x₂ — абсцисса (большая) второй точки;

y₂ — ордината второй точки;

t₂ — параметр (больший) второй точки;

R — высота трактрисы;

L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;

M=(x, y) — точка трактрисы;

M₀=(0,R) — вершина трактрисы;

t — параметрическая переменная (угол наклона трактрисы);

x=R[cost+lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;

y= Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;

L_{дуг.трак} — длина дуги трактрисы.

Формула

[math]L_{\text{дуг.трак}}=R\ln\left|\frac{\sin(t_1)}{\sin(t_2)}\right|, \ \frac{\pi}{2}\le t_1 \le t_2 \lt \pi[/math]

• Длина дуги трактрисы M₀M от вершины равна L_t=-Rln|sint|.

Вывод формулы

• Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в параметрической форме.

См. также

• Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс

Другие формулы

• длина дуги плоской кривой;
• длина дуги окружности;
• длина дуги параболы;
• длина дуги эллипса;
• длина дуги гиперболы;
• длина дуги синусоиды;
• длина дуги косинусоиды;
• длина дуги циклоиды;
• длина дуги кардиоиды;
• длина дуги астроиды;
• длина дуги эпициклоиды;
• длина дуги гипоциклоиды;
• длина дуги эвольвенты окружности;
• длина дуги цепной линии;
• длина дуги трактрисы;
• длина дуги лемнискаты Бернулли.

Ссылки

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.114.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.822.
• Участник:Logic-samara