Длина дуги трактрисы

Трактриса

Длина дуги трактрисы — это число, характеризующее протяжённость дуги трактрисы в единицах измерения длины.

Трактриса — это линия, исходящая из вершины M₀ в обе стороны, описываемая точкой M, увлекаемой нерастяжимой нитью LM длиной R, при движении точки L по направляющей (оси абсцисс).

Рассмотрим дуги трактрисы, исходящей из точки (0, R).

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса (меньшая) первой точки;

y₁ — ордината первой точки;

t₁ — параметр (меньший) первой точки;

x₂ — абсцисса (большая) второй точки;

y₂ — ордината второй точки;

t₂ — параметр (больший) второй точки;

R — высота трактрисы;

L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;

M = (x, y) — точка трактрисы;

M₀ = (0, R) — вершина трактрисы;

t — параметрическая переменная (угол наклона трактрисы);

x = R[cost + lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;

y= Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;

L_{дуг.трак} — длина дуги трактрисы.

Формула

$L_{\text{дуг.трак}}=R\ln \left|{\frac {\sin t_{1}}{\sin t_{2}}}\right|,\ {\frac {\pi }{2}}\leq t_{1}\leq t_{2}<\pi$

• Длина дуги трактрисы M₀M от вершины равна L_t = −Rln|sint|.

Вывод формулы

$L_{\text{дуг.трак}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left(x_{t}'\right)^{2}+\left(y_{t}'\right)^{2}}}dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left[\left(R\cos t+R\ln tg{\frac {t}{2}}\right)'_{t}\right]^{2}+\left[(R\sin t)'_{t}\right]^{2}}}dt=$

$=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left(-R\sin t+{\frac {R}{\sin t}}\right)^{2}+(R\cos t)^{2}}}dt=R\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\sin ^{2}t-2+{\frac {1}{\sin ^{2}t}}+\cos ^{2}t}}dt=$

$=R\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {1}{\sin ^{2}t}}-1}}dt=R\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\frac {1-\sin ^{2}t}{\sin ^{2}t}}}dt=R\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\frac {\cos ^{2}t}{\sin ^{2}t}}}dt=R\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {-\cos t}{\sin t}}dt=$

$=-R\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {1}{\sin t}}d\sin t=\left.-R\ln |\sin t|\right|_{t_{1}}^{t_{2}}=-R(\ln |\sin t_{2}|-\ln |\sin t_{1}|)=R\ln \left|{\frac {\sin t_{1}}{\sin t_{2}}}\right|\Rightarrow$

$\Rightarrow L_{\text{дуг.трак}}=R\ln \left|{\frac {\sin t_{1}}{\sin t_{2}}}\right|$

• Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в параметрической форме.

См. также

• Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс

Другие формулы

• плоская кривая;
• окружность;
• парабола;
• эллипс;
• гипербола;
• синусоида;
• косинусоида;
• циклоида;
• кардиоида;
• астроида;
• эпициклоида;
• гипоциклоида;
• эвольвента;
• цепная линия;
• трактриса;
• лемниската Бернулли.

Литература

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.114.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: «Наука», 1964, стр.822.