Длина дуги трактрисы — это число, характеризующее протяжённость дуги трактрисы в единицах измерения длины.
Трактриса — это линия, исходящая из вершины M0 в обе стороны, описываемая точкой M, увлекаемой нерастяжимой нитью LM длиной R, при движении точки L по направляющей (оси абсцисс).
Рассмотрим дуги трактрисы, исходящей из точки (0, R).
Введём обозначения:
x1 — абсцисса (меньшая) первой точки;
y1 — ордината первой точки;
t1 — параметр (меньший) первой точки;
x2 — абсцисса (большая) второй точки;
y2 — ордината второй точки;
t2 — параметр (больший) второй точки;
R — высота трактрисы;
L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;
M = (x, y) — точка трактрисы;
M0 = (0, R) — вершина трактрисы;
t — параметрическая переменная (угол наклона трактрисы);
x = R[cost + lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;
y= Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;
Lдуг.трак — длина дуги трактрисы.

- Длина дуги трактрисы M0M от вершины равна Lt = −Rln|sint|.
Вывод формулы[править]
![{\displaystyle L_{\text{дуг.трак}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left(x_{t}'\right)^{2}+\left(y_{t}'\right)^{2}}}dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left[\left(R\cos t+R\ln tg{\frac {t}{2}}\right)'_{t}\right]^{2}+\left[(R\sin t)'_{t}\right]^{2}}}dt=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ddb36885cba63bafa5abff0d51ea00cd5e883b)




Другие формулы[править]
- Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.114.
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: «Наука», 1964, стр.822.