Длина дуги параболы

Парабола

Длина дуги параболы — это число, характеризующее протяжённость дуги параболы в единицах измерения длины.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината (меньшая) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината (большая) второй точки дуги;

y² = 2px — каноническое уравнение параболы;

L_{дуг.пар} — длина дуги параболы.

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_\text{дуг.пар}=\frac{y_2\sqrt{y_2^2+p^2}-y_1\sqrt{y_1^2+p^2}}{2p}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{y_2+\sqrt{y_2^2+p^2}}{y_1+\sqrt{y_1^2+p^2}}\right| \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow L_\text{дуг.пар}=\frac{y_2\sqrt{2px_2+p^2}-y_1\sqrt{2px_1+p^2}}{2p}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{y_2+\sqrt{2px_2+p^2}}{y_1+\sqrt{2px_1+p^2}}\right| \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow L_\text{дуг.пар}= sign y_2\sqrt{x_2}\sqrt{x_2+\frac{p}{2}}-sign y_1\sqrt{x_1}\sqrt{x_1+\frac{p}{2}}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{sign y_2\sqrt{x_2}+\sqrt{x_2+\frac{p}{2}}}{sign y_1\sqrt{x_1}+\sqrt{x_1+\frac{p}{2}}}\right|}

• Заметим, что формула верна для точек с положительными и отрицательными ординатами, причём y₂ > y₁.

Вывод формулы

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_\text{дуг.пар}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[\left(\frac{y^2}{2p}\right)'\right]^2}dy=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left(\frac{y}{p}\right)^2}dy=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\frac{y^2}{p^2}}dy=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\frac{1}{p}\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{y^2+p^2}dy=\left.\frac{1}{2p}\left(y\sqrt{y^2+p^2} +p^2\ln\left|y+\sqrt{y^2+p^2}\right|\right)\right|_{y_1}^{y_2}=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\frac{1}{2p}\left(y_2\sqrt{y_2^2+p^2} +p^2\ln\left|y_2+\sqrt{y_2^2+p^2}\right|-y_1\sqrt{y_1^2+p^2}-p^2\ln\left|y_1+\sqrt{y_1^2+p^2}\right|\right)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\frac{y_2\sqrt{y_2^2+p^2}-y_1\sqrt{y_1^2+p^2}}{2p}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{y_2+\sqrt{y_2^2+p^2}}{y_1+\sqrt{y_1^2+p^2}}\right| \Rightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Rightarrow L_\text{дуг.пар}=\frac{y_2\sqrt{y_2^2+p^2}-y_1\sqrt{y_1^2+p^2}}{2p}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{y_2+\sqrt{y_2^2+p^2}}{y_1+\sqrt{y_1^2+p^2}}\right|}

• Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой в прямоугольных координатах.
• Для нахождения интеграла используется формула 1 интегралы функций с корнями.

Другие формулы

• плоская кривая;
• окружность;
• парабола;
• эллипс;
• гипербола;
• синусоида;
• косинусоида;
• циклоида;
• кардиоида;
• астроида;
• эпициклоида;
• гипоциклоида;
• эвольвента;
• цепная линия;
• трактриса;
• лемниската Бернулли.