Длина дуги параболы

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Парабола

Длина дуги параболы — это число, характеризующее протяжённость дуги параболы в единицах измерения длины.

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

x1 — абсцисса первой точки дуги;

y1 — ордината (меньшая) первой точки дуги;

x2 — абсцисса второй точки дуги;

y2 — ордината (большая) второй точки дуги;

y2 = 2px — каноническое уравнение параболы;

Lдуг.пар — длина дуги параболы.

[править] Формула

[math]L_\text{дуг.пар}=\frac{y_2\sqrt{y_2^2+p^2}-y_1\sqrt{y_1^2+p^2}}{2p}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{y_2+\sqrt{y_2^2+p^2}}{y_1+\sqrt{y_1^2+p^2}}\right| \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow L_\text{дуг.пар}=\frac{y_2\sqrt{2px_2+p^2}-y_1\sqrt{2px_1+p^2}}{2p}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{y_2+\sqrt{2px_2+p^2}}{y_1+\sqrt{2px_1+p^2}}\right| \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow L_\text{дуг.пар}= sign y_2\sqrt{x_2}\sqrt{x_2+\frac{p}{2}}-sign y_1\sqrt{x_1}\sqrt{x_1+\frac{p}{2}}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{sign y_2\sqrt{x_2}+\sqrt{x_2+\frac{p}{2}}}{sign y_1\sqrt{x_1}+\sqrt{x_1+\frac{p}{2}}}\right|[/math]
  • Заметим, что формула верна для точек с положительными и отрицательными ординатами, причём y2 > y1.

[править] Вывод формулы

[math]L_\text{дуг.пар}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[\left(\frac{y^2}{2p}\right)'\right]^2}dy=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left(\frac{y}{p}\right)^2}dy=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\frac{y^2}{p^2}}dy=[/math]
[math]=\frac{1}{p}\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{y^2+p^2}dy=\left.\frac{1}{2p}\left(y\sqrt{y^2+p^2} +p^2\ln\left|y+\sqrt{y^2+p^2}\right|\right)\right|_{y_1}^{y_2}=[/math]
[math]=\frac{1}{2p}\left(y_2\sqrt{y_2^2+p^2} +p^2\ln\left|y_2+\sqrt{y_2^2+p^2}\right|-y_1\sqrt{y_1^2+p^2}-p^2\ln\left|y_1+\sqrt{y_1^2+p^2}\right|\right)[/math]
[math]=\frac{y_2\sqrt{y_2^2+p^2}-y_1\sqrt{y_1^2+p^2}}{2p}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{y_2+\sqrt{y_2^2+p^2}}{y_1+\sqrt{y_1^2+p^2}}\right| \Rightarrow[/math]
[math]\Rightarrow L_\text{дуг.пар}=\frac{y_2\sqrt{y_2^2+p^2}-y_1\sqrt{y_1^2+p^2}}{2p}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{y_2+\sqrt{y_2^2+p^2}}{y_1+\sqrt{y_1^2+p^2}}\right|[/math]

[править] Другие формулы

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты