Длина дуги кардиоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги кардиоиды в единицах измерения длины.
Кардиоида — это линия, описываемая точкой окружности, когда последняя катится без скольжения по окружности того же радиуса.
Катящаяся окружность называется производящей.
Рассмотрим дуги кардиоиды при −π ≤ φ ≤ π.
Введём обозначения:
x1 — абсцисса первой точки дуги;
y1 — ордината первой точки дуги;
φ1 — угол (меньший) первой точки дуги;
x2 — абсцисса второй точки дуги;
y2 — ордината второй точки дуги;
φ2 — угол (больший) второй точки дуги;
R — радиус производящей окружности;
φ — независимая переменная;
r = 2R(1 + cosφ) — уравнение кардиоиды в полярных координатах;
t — параметрическая переменная;
x = 2Rcost(1 + cost) — параметрическое уравнение абсциссы кардиоиды;
y = 2Rsint(1 + cost) — параметрическое уравнение ординаты кардиоиды;
Lдуг.кард — длина дуги кардиоиды.
- Длина полной (от -π до π) кардиоиды равна шестнадцати радиусам производящей окружности, Lкард = 16R.
Вывод формулы[править]
Другие формулы[править]
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: Наука, 1964, стр.495.