Длина дуги кардиоиды

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Формула
Кардиоида

Длина дуги кардиоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги кардиоиды в единицах измерения длины.

Кардиоида — это линия, описываемая точкой окружности, когда последняя катится без скольжения по окружности того же радиуса.

Катящаяся окружность называется производящей.

Рассмотрим дуги кардиоиды при -π ≤ φ ≤ π.

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

x1 — абсцисса первой точки дуги;

y1 — ордината первой точки дуги;

φ1 — угол (меньший) первой точки дуги;

x2 — абсцисса второй точки дуги;

y2 — ордината второй точки дуги;

φ2 — угол (больший) второй точки дуги;

R — радиус производящей окружности;

φ — независимая переменная;

r = 2R(1 + cosφ) — уравнение кардиоиды в полярных координатах;

t — параметрическая переменная;

x = 2Rcost(1 + cost) — параметрическое уравнение абсциссы кардиоиды;

y = 2Rsint(1 + cost) — параметрическое уравнение ординаты кардиоиды;

Lдуг.кард — длина дуги кардиоиды.

[править] Формула

[math]L_\text{дуг.кард}=8R\left(\sin\frac{\varphi_2}{2}-\sin\frac{\varphi_1}{2}\right), \ -\pi \le \varphi_1 \le \varphi_2 \le \pi[/math]
  • Длина полной (от до π) кардиоиды равна шестнадцати радиусам производящей окружности, Lкард = 16R.

[править] Вывод формулы

[math]L_\text{дуг.кард}=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2+\left(r'_\varphi\right)^2}d\varphi=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{\left(2R\cos\varphi+2R\right)^2+\left[\left(2R\cos\varphi+2R\right)'_\varphi\right]^2}d\varphi=[/math]
[math]=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{4R^2(\cos\varphi+1)^2+(-2R\sin\varphi)^2}d\varphi=2R\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{2+2\cos\varphi}d\varphi=[/math]
[math]=2\sqrt{2}R\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{1+\cos\varphi}d\varphi=2\sqrt{2}R\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{2\cos^2\frac{\varphi}{2}}d\varphi=4R\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\cos\frac{\varphi}{2}d\varphi=[/math]
[math]=8R\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\cos\frac{\varphi}{2}d\frac{\varphi}{2}=\left.8R\sin\frac{\varphi}{2}\right|_{\varphi_1}^{\varphi_2}=8R\left(\sin\frac{\varphi_2}{2}-\sin\frac{\varphi_1}{2}\right) \Rightarrow[/math]
[math]\Rightarrow L_\text{дуг.кард}=8R\left(\sin\frac{\varphi_2}{2}-\sin\frac{\varphi_1}{2}\right)[/math]

[править] См. также

[править] Другие формулы

[править] Литература

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: Наука, 1964, стр.495.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты