Длина дуги астроиды

Астроида

Формула

Длина дуги астроиды — это число, характеризующее протяжённость дуги астроиды в единицах измерения длины.

Астроида — это линия, описываемая точкой малой окружности радиуса в четверть фиксированного радиуса, когда она катится без скольжения по внутреннкей стороне окружности фиксированного радиуса.

Рассмотрим дуги астроиды, исходящей из точки (0; R) до точки (R; 0).

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса (меньшая) первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр первой точки дуги;

x₂ — абсцисса (большая) второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр второй точки дуги;

R — радиус окружности и высота астроиды;

r — радиус малой окружности;

M = (x; y) — точка астроиды;

M₀ = (0; R) — вершина астроиды;

x^2/3 + y^2/3 = R^2/3 — уравнение астроиды;

t — параметрическая переменная;

x = Rcos³t — параметрическое уравнение абсциссы астроиды;

y = Rsin³t — параметрическое уравнение ординаты астроиды;

L_{дуг.астр} — длина дуги астроиды.

Формула

$L_{\text{дуг.астр}}={\frac {3}{2}}R^{\frac {1}{3}}\left(x_{2}^{\frac {2}{3}}-x_{1}^{\frac {2}{3}}\right),\ 0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq R\Leftrightarrow$

$L_{\text{дуг.астр}}={\frac {3}{2}}R^{\frac {1}{3}}\left(y_{1}^{\frac {2}{3}}-y_{2}^{\frac {2}{3}}\right),\ y_{1}=\left(R^{\frac {2}{3}}-x_{1}^{\frac {2}{3}}\right)^{\frac {3}{2}},\ y_{2}=\left(R^{\frac {2}{3}}-x_{2}^{\frac {2}{3}}\right)^{\frac {3}{2}},\ 0\leq y_{2}\leq y_{1}\leq R\Leftrightarrow$

$L_{\text{дуг.астр}}={\frac {3}{2}}R^{\frac {1}{3}}\left(\cos ^{2}t_{2}-\cos ^{2}t_{1}\right),\ x_{1}=R\cos ^{3}t_{1},\ x_{2}=R\cos ^{3}t_{2},\ 0\leq t_{2}\leq t_{1}\leq {\frac {\pi }{2}}\Leftrightarrow$

$L_{\text{дуг.астр}}={\frac {3}{2}}R^{\frac {1}{3}}\left(\sin ^{2}t_{1}-\sin ^{2}t_{2}\right),\ y_{1}=R\sin ^{3}t_{1},\ y_{2}=R\sin ^{3}t_{2},\ 0\leq t_{2}\leq t_{1}\leq {\frac {\pi }{2}}$

• Заметим, что длина дуги астроиды M₀M от вершины равна L_x = 3R^1/3x^2/3/2.

Вывод формулы

1-ый способ

• Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой для функции в прямоугольных координатах.

2-ой способ

• Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой для функции, заданной параметрически, причём 0 < t₁ < t₂ < π/2.

Другие формулы

• плоская кривая;
• окружность;
• парабола;
• эллипс;
• гипербола;
• синусоида;
• косинусоида;
• циклоида;
• кардиоида;
• астроида;
• эпициклоида;
• гипоциклоида;
• эвольвента;
• цепная линия;
• трактриса;
• лемниската Бернулли.

Ссылки

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.814.
• Участник:Logic-samara