Длина дуги циклоиды

Циклоида

Формула

Длина дуги циклоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги циклоиды в единицах измерения длины.

Циклоида — это линия, описываемая точкой окружности, когда последняя катится без скольжения по прямой линии (направляющей) (например, по оси абсцисс).

Катящаяся окружность называется производящей.

Рассмотрим дуги циклоиды при 0 ≤ t ≤ 2π.

Обозначения

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

R — радиус производящей окружности;

t — параметрическая переменная;

x = R(t − sint) — параметрическое уравнение абсциссы циклоиды;

y = R(1 − cost) — параметрическое уравнение ординаты циклоиды;

L_{дуг.цикл} — длина дуги циклоиды.

Формула

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle L_{\text{дуг.цикл}}=4R\left(\cos {\frac {t_{1}}{2}}-\cos {\frac {t_{2}}{2}}\right),\ 0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq 2\pi }

• Длина полной (от 0 до 2π) арки циклоиды равна восьми радиусам производящей окружности, L_{арк.цикл} = 8R.

Вывод формулы

• Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в параметрической форме.

См. также

• Площадь арки циклоиды

Другие формулы

1. плоская кривая;
2. окружность;
3. парабола;
4. эллипс;
5. гипербола;
6. синусоида;
7. косинусоида;
8. циклоида;
9. кардиоида;
10. астроида;
11. эпициклоида;
12. гипоциклоида;
13. эвольвента;
14. цепная линия;
15. трактриса;
16. лемниската Бернулли.

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр. 492.

Ссылки

• Участник:Logic-samara